Chapitre 811 minIntermédiaire
Primitives : tableau et méthodes de calcul
Par Josselyn C., prof de BTS SIO. Mis à jour le .
À la fin de ce chapitre, tu sauras
- vérifier qu'une fonction est une primitive d'une autre ;
- trouver une primitive avec le tableau et la linéarité ;
- reconnaître les formes u'uⁿ, u'/u et u'e^u ;
- trouver la primitive qui prend une valeur donnée en un point.
5 exercices corrigés
Une primitive d'une fonction f sur un intervalle I est une fonction F dérivable sur I dont la dérivée est f : F′ = f. Chercher une primitive, c'est faire le chemin inverse de la dérivation. C'est l'outil qui permet de calculer une intégrale au chapitre 9, et de retrouver un volume à partir d'un débit.
Définition et premier exemple
F(x) = x³ est une primitive de f(x) = 3x² sur ℝ, puisque (x³)′ = 3x². Mais x³ + 5 et x³ − 12 aussi : la dérivée d'une constante est nulle.
La vérification par la dérivée est l'outil le plus précieux du chapitre. Un sujet te donne souvent une fonction F « dont on admet qu'elle est une primitive », ou te demande de vérifier qu'elle en est une : il suffit de dériver F.
Une primitive qui prend une valeur donnée
Parmi toutes les primitives, une condition comme F(x₀) = y₀ en désigne une seule. Cherchons la primitive F de f(x) = 4x − 3 telle que F(1) = 5.
- Les primitives de f sont F(x) = 2x² − 3x + C.
- F(1) = 2 − 3 + C = −1 + C. On veut F(1) = 5, donc C = 6.
- F(x) = 2x² − 3x + 6.
En informatique, cette situation a une traduction directe. Le débit d'une interface est la dérivée du compteur d'octets ; le compteur est donc une primitive du débit. Connaître le débit à chaque instant ne suffit pas pour connaître la valeur du compteur : il faut aussi sa valeur de départ, la constante C. C'est exactement ce que fait un outil de supervision dans l'autre sens, quand il calcule un débit à partir de deux relevés du compteur (chapitre 2).
Le tableau des primitives
On lit le tableau des dérivées à l'envers. C désigne une constante quelconque, qu'on omet souvent quand on cherche une primitive.
| f(x) | Une primitive F(x) | Valable sur |
|---|---|---|
| k (constante) | kx | ℝ |
| x | x²/2 | ℝ |
| x² | x³/3 | ℝ |
| xⁿ (n entier ≥ 0) | xⁿ⁺¹/(n + 1) | ℝ |
| 1/x² | −1/x | ]−∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[ |
| 1/x | ln x | ]0 ; +∞[ |
| 1/√x | 2√x | ]0 ; +∞[ |
| eˣ | eˣ | ℝ |
| e^(ax + b), a ≠ 0 | (1/a) e^(ax + b) | ℝ |
Primitives et opérations
Une primitive de f(x) = 6x² − 4x + 1 est donc F(x) = 6 × x³/3 − 4 × x²/2 + x = 2x³ − 2x² + x.
Les formes composées : u′uⁿ, u′/u et u′eᵘ
Les formules de dérivation des fonctions composées, lues à l'envers, donnent trois formes à reconnaître. u est une fonction dérivable sur l'intervalle I.
La méthode tient en trois temps : repérer u (souvent ce qui est entre parenthèses, en exposant ou au dénominateur), calculer u′, puis ajuster la constante pour faire apparaître exactement u′.
- f(x) = 2x(x² + 1)³ : u = x² + 1, u′ = 2x. f = u′u³, donc F(x) = (x² + 1)⁴ / 4.
- f(x) = (3x − 1)⁴ : u = 3x − 1, u′ = 3. Il manque le facteur 3 : f(x) = (1/3) × 3(3x − 1)⁴, donc F(x) = (1/3) × (3x − 1)⁵/5 = (3x − 1)⁵ / 15.
- f(x) = 2x/(x² + 4) : u = x² + 4 > 0, u′ = 2x. f = u′/u, donc F(x) = ln(x² + 4).
- f(x) = 1/(2x + 1) sur ]−0,5 ; +∞[ : u = 2x + 1 > 0, u′ = 2. f = (1/2) × 2/(2x + 1), donc F(x) = (1/2) ln(2x + 1).
- f(x) = x e^(x²) : u = x², u′ = 2x. f = (1/2) × 2x e^(x²), donc F(x) = (1/2) e^(x²).
- f(x) = 5 e^(−0,2x) : u = −0,2x, u′ = −0,2. Comme 5 = −25 × (−0,2), f = −25 × u′eᵘ, donc F(x) = −25 e^(−0,2x).
- f(x) = 3/(x − 2)² sur ]2 ; +∞[ : u = x − 2, u′ = 1. f = 3 × u′/u², donc F(x) = −3/(x − 2).
À chaque fois, dérive F pour vérifier. Pour le 6 : (−25 e^(−0,2x))′ = −25 × (−0,2) e^(−0,2x) = 5 e^(−0,2x). Juste.
Choisir la bonne forme
Des fonctions qui se ressemblent n'ont pas la même primitive. Le réflexe : regarde où est la variable (au dénominateur ? en exposant ? sous une puissance ?) et si la dérivée de « l'intérieur » est présente en facteur.
| f(x) | Forme reconnue | Une primitive |
|---|---|---|
| 1/(x + 1), x > −1 | u′/u avec u = x + 1 | ln(x + 1) |
| 1/(x + 1)², x > −1 | u′/u² avec u = x + 1 | −1/(x + 1) |
| x/(x² + 1) | (1/2) × u′/u avec u = x² + 1 | (1/2) ln(x² + 1) |
| x/(x² + 1)² | (1/2) × u′/u² avec u = x² + 1 | −1/(2(x² + 1)) |
| x(x² + 1)² | (1/2) × u′u² avec u = x² + 1 | (x² + 1)³/6 |
| e^(3x) | (1/3) × u′eᵘ avec u = 3x | e^(3x)/3 |
| x e^(−x²) | (−1/2) × u′eᵘ avec u = −x² | −(1/2) e^(−x²) |
Les erreurs fréquentes
| Erreur | Exemple faux | Correction |
|---|---|---|
| Oublier de diviser par a | une primitive de e^(2x) serait e^(2x) | (1/2) e^(2x) : dérive pour vérifier |
| Se tromper de signe avec e^(−x) | une primitive de e^(−x) serait e^(−x) | −e^(−x), car (e^(−x))′ = −e^(−x) |
| Prendre ln pour 1/x² | une primitive de 1/x² serait ln(x²) | −1/x ; ln ne sert que pour u′/u |
| Appliquer xⁿ⁺¹/(n + 1) avec n = −1 | une primitive de 1/x = x⁻¹ serait x⁰/0 | ln x, sur ]0 ; +∞[ |
| Traiter un produit comme une somme | une primitive de x eˣ serait (x²/2) eˣ | aucune formule directe : forme composée, ou primitive donnée à vérifier |
| Oublier la condition u > 0 | ln(x − 3) comme primitive de 1/(x − 3) sur ℝ | valable seulement sur ]3 ; +∞[ |
Exercices
Exercice 1 sur 5 Primitives de base Réussi À revoir
Donne une primitive de chaque fonction, sur l'intervalle indiqué.
- f(x) = 6x² − 4x + 1 sur ℝ
- g(x) = 1/x² + 3 sur ]0 ; +∞[
- h(x) = 4/x sur ]0 ; +∞[
- k(x) = e^(2x) sur ℝ
- m(x) = x³ − 2/√x sur ]0 ; +∞[
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 1
- 2x³ − 2x² + x.
- −1/x + 3x.
- 4 ln x.
- (1/2) e^(2x).
- x⁴/4 − 2 × 2√x = x⁴/4 − 4√x.
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Exercice 2 sur 5 Reconnaître une forme composée Réussi À revoir
Donne une primitive de chaque fonction.
- f(x) = (2x + 3)⁵ sur ℝ
- g(x) = 6x/(3x² + 1) sur ℝ
- h(x) = (2x − 1) e^(x² − x) sur ℝ
- m(x) = 1/(4x + 2) sur ]−0,5 ; +∞[
- p(x) = 3x²(x³ + 2)⁴ sur ℝ
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 2
- u = 2x + 3, u′ = 2 : F(x) = (1/2) × (2x + 3)⁶/6 = (2x + 3)⁶ / 12.
- u = 3x² + 1 > 0, u′ = 6x : f = u′/u, F(x) = ln(3x² + 1).
- u = x² − x, u′ = 2x − 1 : f = u′eᵘ, F(x) = e^(x² − x).
- u = 4x + 2 > 0 sur l'intervalle, u′ = 4 : F(x) = (1/4) ln(4x + 2).
- u = x³ + 2, u′ = 3x² : f = u′u⁴, F(x) = (x³ + 2)⁵ / 5.
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Exercice 3 sur 5 Une primitive avec condition Réussi À revoir
Soit f(x) = 3x² − 2x + 4. Trouve la primitive F de f telle que F(2) = 10.
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 3
Les primitives sont F(x) = x³ − x² + 4x + C. F(2) = 8 − 4 + 8 + C = 12 + C. On veut 12 + C = 10, donc C = −2 : F(x) = x³ − x² + 4x − 2.
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Exercice 4 sur 5 Vérifier une primitive donnée Réussi À revoir
- Montre que F(x) = (x − 1)eˣ est une primitive de f(x) = x eˣ sur ℝ.
- Montre que G(x) = x ln x − x est une primitive de g(x) = ln x sur ]0 ; +∞[.
- Trouve les réels a et b tels que H(x) = (ax + b)e⁻ˣ soit une primitive de h(x) = x e⁻ˣ sur ℝ.
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 4
- F′(x) = 1 × eˣ + (x − 1)eˣ = (1 + x − 1)eˣ = x eˣ = f(x). C'est bien une primitive.
- G′(x) = (1 × ln x + x × 1/x) − 1 = ln x + 1 − 1 = ln x = g(x). C'est bien une primitive.
- H′(x) = a e⁻ˣ − (ax + b)e⁻ˣ = (−ax + a − b)e⁻ˣ. On veut H′(x) = x e⁻ˣ pour tout x, donc −a = 1 et a − b = 0 : a = −1 et b = −1, soit H(x) = −(x + 1)e⁻ˣ. Vérification : H′(x) = −e⁻ˣ + (x + 1)e⁻ˣ = x e⁻ˣ. Cette technique, l'identification des coefficients, remplace l'intégration par parties, hors programme.
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Exercice 5 sur 5 Du débit au volume copié Réussi À revoir
Pendant une copie de 20 minutes vers un NAS, le débit, en Go par minute, est modélisé par d(t) = 2 − 0,1t, pour t entre 0 et 20 minutes. On note V(t) le volume copié, en Go, au bout de t minutes ; V(0) = 0.
- Explique pourquoi V est une primitive de d.
- Détermine V(t).
- Quel volume a été copié au bout de 20 minutes ?
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 5
- Le débit est la vitesse à laquelle le volume augmente : d(t) = V′(t). V est donc une primitive de d.
- V(t) = 2t − 0,05t² + C, et V(0) = C = 0. Donc V(t) = 2t − 0,05t².
- V(20) = 40 − 20 = 20 Go. Le débit a baissé de 2 Go/min à 0 : en moyenne 1 Go/min pendant 20 minutes, ce qui confirme les 20 Go.
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