Fonction exponentielle : cours et exos

La fonction exponentielle, notée exp ou x ↦ eˣ, est l'unique fonction dérivable sur ℝ qui est égale à sa propre dérivée et qui vaut 1 en 0. Elle transforme les sommes en produits (eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ) et modélise tout ce qui augmente ou diminue d'un même pourcentage par unité de temps : un nombre d'utilisateurs, la valeur d'un matériel qui se déprécie, la probabilité qu'un composant fonctionne encore.

Définition et nombre e

La notation eˣ n'est pas un hasard : l'exponentielle prolonge les puissances de e. e² = e × e ≈ 7,389, e⁰ = 1, e⁻¹ = 1/e ≈ 0,368, et eˣ existe aussi pour x = 0,5 ou x = −2,7.

Le lien avec les suites géométriques est direct : la suite uₙ = eⁿ est géométrique de raison e, et plus généralement uₙ = C × eᵏⁿ est géométrique de raison eᵏ. L'exponentielle est la version « continue » d'une suite géométrique, définie pour tous les réels et pas seulement pour les entiers (cours sur les suites).

D'où vient le nombre e ?

Le nombre e apparaît quand on fractionne une croissance de plus en plus finement. Place 1 € à 100 % d'intérêts par an. Versés en une fois, ils te donnent 2 € au bout d'un an. Versés en deux fois (50 % tous les six mois, intérêts composés), 1 × 1,5² = 2,25 €. En n fois, (1 + 1/n)ⁿ euros. Plus on fractionne, plus on gagne, mais le gain plafonne :

python

for n in (1, 12, 365, 1_000_000):
    print(n, (1 + 1 / n) ** n)

text

1 2.0
12 2.613035290224676
365 2.7145674820219727
1000000 2.7182804690957534

La limite de (1 + 1/n)ⁿ quand n tend vers l'infini est e ≈ 2,718 28 : c'est la croissance obtenue quand l'augmentation est continue, à chaque instant, plutôt que par paliers. C'est pour cela que e^(kt) décrit si bien les phénomènes qui évoluent en continu, et que la calculatrice a une touche eˣ.

Les propriétés algébriques

Ce sont les règles des puissances que tu connais déjà, avec e comme base. Elles servent à simplifier :

e²ˣ × e⁻ˣ = e²ˣ⁻ˣ = eˣ ;
(e³ˣ)² / eˣ = e⁶ˣ / eˣ = e⁵ˣ ;
e^(x + ln 2) = eˣ × e^(ln 2) = 2eˣ, une fois qu'on sait que e^(ln 2) = 2 (chapitre 5).

Variations, signe et courbe de l'exponentielle

Comme exp′ = exp et que eˣ > 0, la dérivée est toujours positive : la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ. On en déduit deux équivalences très utiles pour résoudre :

eᵃ = eᵇ si et seulement si a = b ;
eᵃ < eᵇ si et seulement si a < b.

La courbe passe par (0 ; 1) et (1 ; e). Elle est très proche de l'axe des abscisses vers la gauche (eˣ tend vers 0 quand x tend vers −∞) et monte de plus en plus vite vers la droite (eˣ tend vers +∞) : le chapitre 7 le dit avec des limites. Sa tangente en 0 a pour équation y = e⁰(x − 0) + e⁰, soit y = x + 1, et la courbe est toujours au-dessus : eˣ ≥ 1 + x pour tout x. Le chapitre 5 montre la courbe à côté de celle du logarithme népérien.

La dérivée de e^u

Exemples :

Fonction	u(x)	u′(x)	Dérivée
e^(3x − 1)	3x − 1	3	3e^(3x − 1)
e^(−0,5x)	−0,5x	−0,5	−0,5e^(−0,5x)
e^(x²)	x²	2x	2x e^(x²)

Avec un produit, on combine avec (uv)′ = u′v + uv′ :

h(x) = x eˣ : h′(x) = 1 × eˣ + x × eˣ = (x + 1)eˣ ;
k(x) = (x² + 1)e⁻ˣ : k′(x) = 2x e⁻ˣ + (x² + 1) × (−e⁻ˣ) = (−x² + 2x − 1)e⁻ˣ = −(x − 1)² e⁻ˣ.

Équations et inéquations

Grâce aux deux équivalences, on compare les exposants :

e^(2x − 1) = e^(x + 3) ⟺ 2x − 1 = x + 3 ⟺ x = 4 ;
e^(3x) < e^(x + 2) ⟺ 3x < x + 2 ⟺ x < 1 ;
eˣ > 1 ⟺ eˣ > e⁰ ⟺ x > 0 ;
e^(x²) = e⁴ ⟺ x² = 4 ⟺ x = 2 ou x = −2 ;
e^(2x) − e = 0 ⟺ e^(2x) = e¹ ⟺ 2x = 1 ⟺ x = 0,5.

Pour une équation avec un produit, utilise le fait qu'une exponentielle n'est jamais nulle : (x − 3)e^(2x) = 0 ⟺ x − 3 = 0 ⟺ x = 3. De même, le signe de (x − 3)e^(2x) est celui de x − 3. C'est ce qui rend les études de fonctions avec une exponentielle si régulières : on factorise par eᵘ, et il reste un polynôme.

Pour résoudre eˣ = 5, il faut une fonction qui « remonte » de 5 à x : c'est le logarithme népérien du chapitre 5.

Croissance et décroissance exponentielles

Une grandeur qui vaut f(t) = C × e^(kt) à l'instant t est multipliée par eᵏ à chaque unité de temps, puisque f(t + 1) = C × e^(kt + k) = f(t) × eᵏ.

Si k > 0, eᵏ > 1 : croissance exponentielle, d'environ (eᵏ − 1) × 100 % par unité de temps.
Si k < 0, eᵏ < 1 : décroissance exponentielle, la grandeur se rapproche de 0 sans l'atteindre.

Une croissance. Une application compte N(t) = 500 e^(0,2t) utilisateurs, t mois après son lancement. N(0) = 500 et e^0,2 ≈ 1,221 4 : le nombre d'utilisateurs augmente d'environ 22,1 % par mois. Au bout de 6 mois, N(6) = 500 e^1,2 ≈ 1 660 utilisateurs ; au bout d'un an, N(12) = 500 e^2,4 ≈ 5 512. Pour l'équipe qui exploite l'application, c'est une alerte : la base de données, les journaux et la charge du serveur suivent la même courbe.

Une décroissance. Un serveur acheté 8 000 € perd de la valeur selon V(t) = 8 000 e^(−0,4t), t en années. e^−0,4 ≈ 0,670 3 : chaque année, il garde environ 67 % de sa valeur, il en perd donc près de 33 %. Au bout de 3 ans, V(3) = 8 000 e^−1,2 ≈ 2 410 €.

Les exponentielles de base a

Plus généralement, pour a > 0, la fonction t ↦ aᵗ est une exponentielle de base a : 2ᵗ double à chaque unité, 1,05ᵗ augmente de 5 %. Elle s'écrit avec e grâce au logarithme : aᵗ = e^(t ln a) (chapitre 6). Le programme les cite « en cas de besoin lié à la spécialité » ; en informatique, la base 2 est partout.