Suite géométrique : formule et raison

Une suite géométrique est une suite où l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre, appelé la raison q : uₙ₊₁ = q × uₙ. Son terme général est uₙ = u₀ × qⁿ. C'est le modèle de toutes les évolutions « en pourcentage » : un trafic qui augmente de 12 % par an, un matériel qui perd 30 % de sa valeur chaque année, un capital placé à intérêts composés. Ce chapitre montre comment la reconnaître, passer d'un pourcentage à sa raison, calculer n'importe quel terme et comparer croissance linéaire et croissance exponentielle.

Définition : on multiplie toujours par le même nombre

Une suite (uₙ) est géométrique s'il existe un nombre q tel que, pour tout entier naturel n :

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uₙ₊₁ = q × uₙ

Le nombre q s'appelle la raison de la suite.

Exemple : en 2026, le lien loué qui relie le siège de Sorbier Logistique à l'agence de Marseille transporte 45 Mbit/s aux heures de pointe, et ce trafic augmente de 12 % par an. En notant tₙ le trafic de pointe l'année 2026 + n, en Mbit/s :

Rang n	0	1	2	3	4
tₙ (Mbit/s)	45	50,4	56,45	63,22	70,81
Passage au suivant		× 1,12	× 1,12	× 1,12	× 1,12

Les valeurs sont arrondies au centième. L'écart entre deux termes n'est pas constant (5,4 puis 6,05 puis 6,77…) : il grandit, parce que les 12 % portent sur une valeur de plus en plus grande. Ce qui est constant, c'est le rapport entre deux termes consécutifs.

Reconnaître une suite géométrique

Avec une relation de récurrence. Si elle a la forme uₙ₊₁ = (un nombre fixe) × uₙ, la suite est géométrique et ce nombre est sa raison. Par exemple wₙ₊₁ = wₙ / 4 = 0,25 × wₙ : géométrique de raison 0,25.

Avec des termes ou un tableau (termes non nuls). Calcule les quotients uₙ₊₁ / uₙ. S'ils sont tous égaux, la suite semble géométrique ; un seul quotient différent prouve qu'elle ne l'est pas.

n	0	1	2	3	Quotients	Conclusion
aₙ	5	15	45	135	3 ; 3 ; 3	Géométrique de raison 3, d'après ces termes
bₙ	2	3	5	9	1,5 ; 1,67 ; 1,8	Pas géométrique

Avec une formule explicite. Une suite de la forme uₙ = a × bⁿ est géométrique de raison b et de premier terme a. Pour le justifier, on calcule le quotient :

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uₙ = 3 × 2ⁿ
uₙ₊₁ = 3 × 2ⁿ⁺¹ = 3 × 2ⁿ × 2
uₙ₊₁ / uₙ = 2

Le quotient vaut 2 pour tout n : (uₙ) est géométrique de raison 2 et de premier terme u₀ = 3.

Le terme général : uₙ = u₀ × qⁿ

Pour aller de u₀ à uₙ, on multiplie par la raison n fois :

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u₁ = q × u₀
u₂ = q × u₁ = q² × u₀
u₃ = q × u₂ = q³ × u₀
…
uₙ = u₀ × qⁿ

Pour le lien Lyon – Marseille : tₙ = 45 × 1,12ⁿ. En 2032 (n = 6), t₆ = 45 × 1,12⁶ ≈ 88,82 Mbit/s : le trafic de pointe approchera les 100 Mbit/s du contrat. Le chapitre 9 cherche l'année exacte où il dépassera 80 % du lien.

Pourcentage d'évolution et coefficient multiplicateur

C'est la compétence qui sert le plus dans les sujets : traduire une évolution en pourcentage en multiplication.

Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t/100.
Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t/100.

Le nombre par lequel on multiplie s'appelle le coefficient multiplicateur. Si la même évolution se répète à chaque période, la suite est géométrique et sa raison est ce coefficient.

Évolution par période	Coefficient multiplicateur (raison q)
+ 5 %	1,05
+ 12 %	1,12
+ 25 %	1,25
+ 100 % (doublement)	2
− 3 %	0,97
− 20 %	0,8
− 50 % (division par deux)	0,5

Dans l'autre sens, une raison q correspond à une évolution de (q − 1) × 100 % : q = 1,08 signifie + 8 %, q = 0,85 signifie − 15 %.

Taux d'évolution global et taux moyen

Le taux global sur n périodes. Si une grandeur évolue de t % par période pendant n périodes, elle est multipliée par (1 + t/100)ⁿ. Le trafic qui augmente de 12 % par an est multiplié par 1,12⁵ ≈ 1,7623 en cinq ans : une hausse globale d'environ 76,23 %.

Le taux moyen. Dans l'autre sens, si une grandeur a été multipliée par un coefficient C en n périodes, le coefficient moyen par période est le nombre q tel que qⁿ = C, c'est-à-dire la racine n-ième de C :

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q = C^(1/n)

Exemple : le nombre de comptes d'un service en ligne a augmenté de 50 % en quatre ans. C = 1,5 et q = 1,5^(1/4) ≈ 1,1067 : une hausse moyenne d'environ 10,67 % par an, et non 50 / 4 = 12,5 %.

Trouver la raison à partir de deux termes

Si tu connais deux termes uₚ et uₖ (p < k, termes non nuls), il y a k − p multiplications entre eux :

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uₖ = uₚ × qᵏ⁻ᵖ     donc     qᵏ⁻ᵖ = uₖ / uₚ

Exemple : une suite géométrique de raison positive vérifie u₂ = 12 et u₅ = 96.

q³ = 96 / 12 = 8, donc q = 8^(1/3) = 2, car 2³ = 8.
u₀ = u₂ / q² = 12 / 4 = 3.
Terme général : uₙ = 3 × 2ⁿ. Vérification : u₅ = 3 × 32 = 96.

Sens de variation d'une suite géométrique

Pour une suite géométrique de premier terme u₀ positif et de raison q positive, la raison décide du sens :

Raison	Évolution	Sens de variation (u₀ > 0)
q > 1	Augmentation de (q − 1) × 100 % par période	Strictement croissante
q = 1	Aucune évolution	Constante
0 < q < 1	Diminution de (1 − q) × 100 % par période	Strictement décroissante

Si u₀ est négatif, le sens s'inverse : (−3 × 2ⁿ) vaut −3, −6, −12… et décroît. Si q est négatif, les termes changent de signe à chaque rang (2, −6, 18, −54 pour u₀ = 2 et q = −3) : la suite n'est ni croissante ni décroissante. Ces deux cas sont rares dans les situations concrètes ; le chapitre 5 les reprend.

Croissance linéaire ou exponentielle

Une suite arithmétique de raison positive ajoute la même quantité à chaque période : sa croissance est linéaire, ses points sont alignés. Une suite géométrique de raison q > 1 ajoute le même pourcentage : la quantité ajoutée grandit à chaque période, sa croissance est exponentielle, ses points dessinent une courbe qui se redresse.

Deux scénarios pour le nombre de comptes d'un service en ligne qui en compte 10 000 aujourd'hui :

scénario A : + 2 000 comptes par an, soit aₙ = 10 000 + 2 000n ;
scénario B : + 10 % par an, soit bₙ = 10 000 × 1,1ⁿ.

Année n	0	1	5	10	14	15	16
A (arithmétique)	10 000	12 000	20 000	30 000	38 000	40 000	42 000
B (géométrique)	10 000	11 000	16 105	25 937	37 975	41 772	45 950

+ 2 000 par an contre + 10 % par an : la croissance exponentielle finit toujours par dépasser la croissance linéaire

Pendant quatorze ans, le scénario A donne plus de comptes. Mais à partir de l'année 15, le scénario B passe devant, et l'écart ne cesse ensuite de grandir. C'est une propriété générale : une croissance exponentielle (q > 1) finit toujours par dépasser n'importe quelle croissance linéaire, même si elle part plus lentement. En informatique, c'est la différence entre un algorithme dont le temps double à chaque élément ajouté et un algorithme qui prend une seconde de plus (chapitre 9).