Somme des termes d'une suite arithmétique ou géométrique

La somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique vaut le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier terme ; celle d'une suite géométrique de raison q ≠ 1 vaut le premier terme multiplié par (1 − q puissance le nombre de termes) / (1 − q). Ces sommes répondent aux questions de cumul : coût total d'un contrat sur cinq ans, volume total de sauvegardes, nombre total d'opérations d'un algorithme. Ce chapitre explique les deux formules, d'où elles viennent, et comment éviter l'erreur la plus fréquente : se tromper sur le nombre de termes.

Compter les termes : la première source d'erreurs

Avant toute formule de somme, il faut savoir combien de termes on additionne.

Le « + 1 » vient du fait qu'on compte les deux bouts. C'est le même piège que les poteaux d'une clôture : pour 10 mètres de clôture avec un poteau tous les mètres, il faut 11 poteaux.

Quand les termes sont donnés par leurs valeurs et non par leurs rangs, on retrouve le nombre de termes avec le terme général. Pour 7 + 11 + 15 + … + 87 (suite arithmétique de raison 4 qui commence à 7), le dernier terme vérifie 7 + 4 × k = 87, soit k = 20 : les termes vont du rang 0 au rang 20, il y en a 21.

Somme des termes d'une suite arithmétique

D'où vient cette formule ? On raconte que Carl Friedrich Gauss, enfant, a calculé ainsi 1 + 2 + … + 100. On écrit la somme deux fois, une fois à l'endroit et une fois à l'envers, et on additionne les colonnes :

 S =   1 +   2 +   3 + … +  98 +  99 + 100
 S = 100 +  99 +  98 + … +   3 +   2 +   1
2S = 101 + 101 + 101 + … + 101 + 101 + 101

Chaque colonne vaut 101, et il y a 100 colonnes : 2S = 100 × 101, donc S = 100 × 101 / 2 = 5 050. Le même raisonnement marche pour toute suite arithmétique : la somme du premier et du dernier terme est égale à celle du deuxième et de l'avant-dernier, et ainsi de suite, car on ajoute r d'un côté et on l'enlève de l'autre.

Cas particulier à connaître : la somme des n premiers entiers.

1 + 2 + 3 + … + n = n × (n + 1) / 2

Par exemple 1 + 2 + … + 50 = 50 × 51 / 2 = 1 275. Cette somme apparaît dès qu'on compte les tours de deux boucles imbriquées (chapitre 9).

Exemple pas à pas. Le contrat de maintenance d'un parc coûte 5 000 € la première année et augmente de 800 € par an. Quel est le coût total sur six ans ?

1. La suite des coûts annuels est arithmétique : c₀ = 5 000, r = 800, cₙ = 5 000 + 800n.
2. Six années : de c₀ à c₅, soit 5 − 0 + 1 = 6 termes.
3. Dernier terme : c₅ = 5 000 + 800 × 5 = 9 000.
4. Somme : S = 6 × (5 000 + 9 000) / 2 = 6 × 7 000 = 42 000 €.

Somme des termes d'une suite géométrique

On peut aussi écrire S = premier terme × (q^N − 1) / (q − 1) : c'est la même fraction, numérateur et dénominateur multipliés par −1. Cette forme évite les nombres négatifs quand q > 1.

D'où vient cette formule ? On écrit S, puis q × S, et on soustrait :

     S = u₀ + u₀q + u₀q² + … + u₀qⁿ
 q × S =      u₀q + u₀q² + … + u₀qⁿ + u₀qⁿ⁺¹
S − qS = u₀                         − u₀qⁿ⁺¹

Tous les termes du milieu s'annulent. Il reste S × (1 − q) = u₀ × (1 − qⁿ⁺¹), et on divise par 1 − q, possible puisque q ≠ 1.

Exemple pas à pas. u₀ = 3 et q = 2. Calcule S = u₀ + u₁ + … + u₆.

1. Nombre de termes : 6 − 0 + 1 = 7.
2. S = 3 × (1 − 2⁷) / (1 − 2) = 3 × (1 − 128) / (−1) = 3 × 127 = 381.
3. Vérification en additionnant : 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 = 381.

Exemple en contexte. Le contrat de maintenance coûte 5 000 € la première année, puis augmente de 10 % par an. Coût total sur six ans :

1. cₙ = 5 000 × 1,1ⁿ, de c₀ à c₅ : 6 termes.
2. S = 5 000 × (1,1⁶ − 1) / (1,1 − 1) = 5 000 × 0,771561 / 0,1 = 38 578,05 €.

Ici, la hausse de 10 % coûte moins cher sur six ans que la hausse fixe de 800 € (42 000 €) : 10 % de 5 000 €, c'est 500 € la première année, moins que 800 €. Sur une durée plus longue, l'ordre s'inverserait.

Calculer une somme avec un outil

Le programme demande de savoir calculer ces sommes « avec la calculatrice ou le tableur », la formule pouvant t'être rappelée dans le sujet. Trois façons de faire :

• Au tableur : une colonne de termes, puis =SOMME(B2:B7) ; ou une colonne de sommes cumulées, où chaque cellule ajoute le nouveau terme à la somme précédente.
• À la calculatrice : afficher la colonne des sommes dans la table de la suite, ou utiliser somme(suite(…)) sur TI. Les touches exactes sont au chapitre 8.
• En Python : une boucle qui accumule, ou la fonction sum.

# Coût total du contrat sur 6 ans, hausse de 10 % par an
total = sum(5000 * 1.1**n for n in range(6))
print(round(total, 2))      # 38578.05

# La même chose avec une boucle qui accumule
c = 5000
total = 0
for annee in range(6):
    total = total + c
    c = c * 1.1
print(round(total, 2))      # 38578.05

Pour aller plus loin : la somme infinie

Quand 0 < q < 1, les termes deviennent minuscules et la somme se rapproche d'une valeur finie. Comme q^N tend vers 0 quand le nombre de termes N grandit (chapitre 6), la somme tend vers premier terme / (1 − q). Par exemple 100 + 50 + 25 + 12,5 + … se rapproche de 100 / (1 − 0,5) = 200. Cette « somme infinie » n'est pas au programme du module, mais elle explique pourquoi un volume qui diminue de moitié à chaque étape reste borné.

Exercices

cout = 5000      # coût de l'année en cours
total = 0
annees = 0
while total <= 60000:
    total = total + cout
    cout = cout + 800
    annees = annees + 1
print(annees, total)    # 8 62400