Exercices corrigés

Exercice 1 : Identifier et calculer (suite arithmetique)

Enonce : Une suite (Un) est arithmetique de premier terme U0 = 7 et de raison r = 4. Calculer U1, U5, U20.

Correction :

Formule : Un = U0 + n x r = 7 + n x 4.

U1 = 7 + 1 x 4 = 7 + 4 = 11

U5 = 7 + 5 x 4 = 7 + 20 = 27

U20 = 7 + 20 x 4 = 7 + 80 = 87

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Exercice 2 : Trouver la raison et U0

Enonce : Une suite arithmetique verifie U3 = 19 et U8 = 39. Determiner r et U0.

Correction :

r = (U8 - U3) / (8 - 3) = (39 - 19) / 5 = 20 / 5 = 4

U0 = U3 - 3 x r = 19 - 3 x 4 = 19 - 12 = 7

Verification : U8 = U0 + 8 x r = 7 + 8 x 4 = 7 + 32 = 39. Correct.

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Exercice 3 : Somme arithmetique

Enonce : Calculer la somme S = U0 + U1 + ... + U12 pour la suite arithmetique U0 = 5, r = 3.

Correction :

Etape 1 : Nombre de termes. De U0 a U12 : 12 - 0 + 1 = 13 termes.

Etape 2 : Calculer U12. U12 = U0 + 12 x r = 5 + 12 x 3 = 5 + 36 = 41

Etape 3 : Appliquer la formule. S = 13 x (U0 + U12) / 2 S = 13 x (5 + 41) / 2 S = 13 x 46 / 2 S = 598 / 2 S = 299

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Exercice 4 : Suite geometrique - termes

Enonce : Suite geometrique : U0 = 3, q = 2. Calculer U4, U8.

Correction :

Formule : Un = U0 x q^n = 3 x 2^n.

U4 = 3 x 2^4 = 3 x 16 = 48

U8 = 3 x 2^8 = 3 x 256 = 768

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Exercice 5 : Trouver la raison geometrique

Enonce : Suite geometrique : U1 = 6, U4 = 162. Determiner q et U0.

Correction :

On sait que U4 = U1 x q^(4-1) = U1 x q^3.

q^3 = U4 / U1 = 162 / 6 = 27

q = 27^(1/3) = 3

U0 = U1 / q = 6 / 3 = 2

Verification : U4 = U0 x q^4 = 2 x 3^4 = 2 x 81 = 162. Correct.

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Exercice 6 : Somme geometrique

Enonce : Calculer S = U0 + U1 + ... + U7 pour U0 = 4, q = 3.

Correction :

Nombre de termes : 7 - 0 + 1 = 8.

S = U0 x (1 - q^8) / (1 - q) S = 4 x (1 - 3^8) / (1 - 3) S = 4 x (1 - 6 561) / (-2) S = 4 x (-6 560) / (-2) S = 4 x 3 280 S = 13 120

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Exercice 7 : Placement financier

Enonce : On place 15 000 euros a un taux annuel de 4%. Calculer le capital apres 1, 5 et 10 ans.

Correction :

Suite geometrique : Cn = 15 000 x 1.04^n.

C1 = 15 000 x 1.04^1 = 15 000 x 1.04 = 15 600

C5 = 15 000 x 1.04^5

Calculons 1.04^5 :

• 1.04^2 = 1.0816
• 1.04^3 = 1.0816 x 1.04 = 1.124864
• 1.04^4 = 1.124864 x 1.04 = 1.16985856
• 1.04^5 = 1.16985856 x 1.04 = 1.2166529... arrondi a 1.216653

C5 = 15 000 x 1.216653 = 18 249.79 euros (arrondi au centime).

C10 = 15 000 x 1.04^10

1.04^10 = (1.04^5)^2 = 1.216653^2 = 1.480244 (arrondi)

C10 = 15 000 x 1.480244 = 22 203.66 euros (arrondi au centime).

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Exercice 8 : Amortissement lineaire

Enonce : Un materiel informatique coute 8 000 euros. Il est amorti lineairement sur 4 ans. Donner la VNC chaque annee et le montant total des amortissements.

Correction :

Annuite = 8 000 / 4 = 2 000 euros.

Suite arithmetique : VNC(n) = 8 000 - 2 000 x n, r = -2 000.

• VNC(0) = 8 000 - 2 000 x 0 = 8 000 - 0 = 8 000
• VNC(1) = 8 000 - 2 000 x 1 = 8 000 - 2 000 = 6 000
• VNC(2) = 8 000 - 2 000 x 2 = 8 000 - 4 000 = 4 000
• VNC(3) = 8 000 - 2 000 x 3 = 8 000 - 6 000 = 2 000
• VNC(4) = 8 000 - 2 000 x 4 = 8 000 - 8 000 = 0

Total des amortissements = 4 x 2 000 = 8 000 euros (le bien est integralement amorti).

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Exercice 9 : Cout de maintenance croissant

Enonce : Le cout de maintenance d'un serveur est de 1 200 euros la premiere annee et augmente de 150 euros chaque annee. Calculer le cout la 6e annee et le cout total sur 6 ans.

Correction :

Suite arithmetique : U1 = 1 200, r = 150. (L'indice 1 correspond a la premiere annee.)

Cout la 6e annee : U6 = U1 + (6 - 1) x r = 1 200 + 5 x 150 = 1 200 + 750 = 1 950 euros.

Cout total sur 6 ans (U1 + U2 + ... + U6) : Nombre de termes : 6. S = 6 x (U1 + U6) / 2 = 6 x (1 200 + 1 950) / 2 = 6 x 3 150 / 2 = 18 900 / 2 = 9 450 euros.

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Exercice 10 : Convergence d'une suite geometrique

Enonce : On considere la suite Un = 500 x 0.8^n. La suite converge-t-elle ? Si oui, vers quelle limite ? Calculer U5 et U10.

Correction :

La suite est geometrique de raison q = 0.8. Comme |q| = 0.8 < 1, la suite converge vers 0.

U5 = 500 x 0.8^5

• 0.8^2 = 0.64
• 0.8^3 = 0.64 x 0.8 = 0.512
• 0.8^4 = 0.512 x 0.8 = 0.4096
• 0.8^5 = 0.4096 x 0.8 = 0.32768 U5 = 500 x 0.32768 = 163.84

U10 = 500 x 0.8^10 = 500 x (0.8^5)^2 = 500 x 0.32768^2 = 500 x 0.107374 = 53.69 (arrondi).

La suite tend bien vers 0.

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Exercice 11 : Suite recurrente

Enonce : On definit U0 = 10 et Un+1 = 0.6 x Un + 8. Calculer U1 a U5. Determiner la limite eventuelle.

Correction :

Calcul des termes :

• U0 = 10
• U1 = 0.6 x 10 + 8 = 6 + 8 = 14
• U2 = 0.6 x 14 + 8 = 8.4 + 8 = 16.4
• U3 = 0.6 x 16.4 + 8 = 9.84 + 8 = 17.84
• U4 = 0.6 x 17.84 + 8 = 10.704 + 8 = 18.704
• U5 = 0.6 x 18.704 + 8 = 11.2224 + 8 = 19.2224

Recherche de la limite : Si la suite converge vers L, alors L = 0.6L + 8. L - 0.6L = 8 0.4L = 8 L = 8 / 0.4 = 20

La suite converge vers 20.

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Exercice 12 : Loi de Moore

Enonce : En 2010, un processeur contient 1 milliard de transistors. Selon la loi de Moore (doublement tous les 2 ans), combien en contiendra-t-il en 2020 et en 2030 ?

Correction :

Suite geometrique : T(n) = 1 000 000 000 x 2^n, ou n est le nombre de periodes de 2 ans apres 2010.

En 2020 : n = (2020 - 2010) / 2 = 10 / 2 = 5. T(5) = 1 000 000 000 x 2^5 = 1 000 000 000 x 32 = 32 000 000 000 (32 milliards).

En 2030 : n = (2030 - 2010) / 2 = 20 / 2 = 10. T(10) = 1 000 000 000 x 2^10 = 1 000 000 000 x 1 024 = 1 024 000 000 000 (1 024 milliards).

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Exercice 13 : Somme et interets composes

Enonce : On verse 2 000 euros chaque annee sur un compte remunere a 5% par an. Quel est le capital accumule apres 10 versements (versements en debut d'annee) ?

Correction :

Le 1er versement (debut annee 1) capitalise pendant 10 ans : 2 000 x 1.05^10. Le 2e versement (debut annee 2) capitalise pendant 9 ans : 2 000 x 1.05^9. ... Le 10e versement (debut annee 10) capitalise pendant 1 an : 2 000 x 1.05^1.

Capital total : S = 2 000 x 1.05 + 2 000 x 1.05^2 + ... + 2 000 x 1.05^10 S = 2 000 x 1.05 x (1 + 1.05 + 1.05^2 + ... + 1.05^9)

La somme entre parentheses est une somme geometrique de 10 termes, premier terme 1, raison 1.05 :

Somme = (1 - 1.05^10) / (1 - 1.05)

Calculons 1.05^10 :

• 1.05^2 = 1.1025
• 1.05^4 = 1.1025^2 = 1.21550625
• 1.05^5 = 1.21550625 x 1.05 = 1.27628156
• 1.05^10 = 1.27628156^2 = 1.62889463 (arrondi a 1.628895)

Somme = (1 - 1.628895) / (1 - 1.05) = (-0.628895) / (-0.05) = 12.5779

S = 2 000 x 1.05 x 12.5779 = 2 100 x 12.5779 = 26 413.59 euros (arrondi).

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Exercice 14 : Sens de variation

Enonce : On donne Un = n^2 - 10n + 30. Etudier le sens de variation de cette suite.

Correction :

Calculons Un+1 - Un :

Un+1 = (n + 1)^2 - 10(n + 1) + 30 Un+1 = n^2 + 2n + 1 - 10n - 10 + 30 Un+1 = n^2 - 8n + 21

Un+1 - Un = (n^2 - 8n + 21) - (n^2 - 10n + 30) Un+1 - Un = n^2 - 8n + 21 - n^2 + 10n - 30 Un+1 - Un = 2n - 9

Etude du signe de 2n - 9 :

• 2n - 9 = 0 quand n = 4.5
• 2n - 9 < 0 quand n < 4.5, c'est-a-dire pour n = 0, 1, 2, 3, 4
• 2n - 9 > 0 quand n > 4.5, c'est-a-dire pour n >= 5

La suite est strictement decroissante de n = 0 a n = 4, puis strictement croissante a partir de n = 5.

Le minimum est atteint en n = 5 : U5 = 25 - 50 + 30 = 5.

Verification : U4 = 16 - 40 + 30 = 6 > U5 = 5. U6 = 36 - 60 + 30 = 6 > U5 = 5. Correct.

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Exercice 15 : Amortissement degressif

Enonce : Un equipement reseau coute 12 000 euros. Il est amorti de maniere degressive au taux de 30% par an. Calculer la VNC apres chaque annee pendant 5 ans. Quelle est la VNC apres 5 ans ?

Correction :

Suite geometrique : VNC(n) = 12 000 x (1 - 0.30)^n = 12 000 x 0.70^n.

• VNC(0) = 12 000 x 0.70^0 = 12 000 x 1 = 12 000
• VNC(1) = 12 000 x 0.70^1 = 12 000 x 0.70 = 8 400
• VNC(2) = 12 000 x 0.70^2 = 12 000 x 0.49 = 5 880
• VNC(3) = 12 000 x 0.70^3 = 12 000 x 0.343 = 4 116
• VNC(4) = 12 000 x 0.70^4 = 12 000 x 0.2401 = 2 881.20
• VNC(5) = 12 000 x 0.70^5 = 12 000 x 0.16807 = 2 016.84

Apres 5 ans, la VNC est de 2 016.84 euros.

L'amortissement total cumule est de 12 000 - 2 016.84 = 9 983.16 euros.

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Exercice 16 : Suite et tableur

Enonce : On considere la suite definie par U0 = 100 et Un+1 = Un x 0.9 + 5. Ecrire les formules tableur pour calculer les 10 premiers termes et identifier la limite graphiquement.

Correction :

Configuration du tableur :

Tirer A3 et B3 vers le bas jusqu'a la ligne 12 (pour obtenir U0 a U10).

Calcul des termes :

• U0 = 100
• U1 = 100 x 0.9 + 5 = 90 + 5 = 95
• U2 = 95 x 0.9 + 5 = 85.5 + 5 = 90.5
• U3 = 90.5 x 0.9 + 5 = 81.45 + 5 = 86.45
• U4 = 86.45 x 0.9 + 5 = 77.805 + 5 = 82.805
• U5 = 82.805 x 0.9 + 5 = 74.5245 + 5 = 79.5245
• U6 = 79.5245 x 0.9 + 5 = 71.57205 + 5 = 76.57205
• U7 = 76.57205 x 0.9 + 5 = 68.914845 + 5 = 73.914845
• U8 = 73.914845 x 0.9 + 5 = 66.52336 + 5 = 71.52336
• U9 = 71.52336 x 0.9 + 5 = 64.37102 + 5 = 69.37102
• U10 = 69.37102 x 0.9 + 5 = 62.43392 + 5 = 67.43392

Recherche de la limite : L = 0.9L + 5, donc 0.1L = 5, donc L = 50.

La suite converge vers 50 (suite decroissante, les termes se rapprochent de 50 par valeurs superieures).

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Exercice 17 : Exercice de synthese (examen type)

Enonce : Une entreprise de services informatiques demarre avec 80 clients. Chaque annee, elle perd 10% de ses clients mais en gagne 30 nouveaux. On note Cn le nombre de clients l'annee n.

a) Exprimer Cn+1 en fonction de Cn. b) Calculer C1, C2, C3. c) Determiner la limite eventuelle de cette suite. d) Calculer le nombre d'annees necessaires pour depasser 250 clients (a l'aide du tableur ou par calcul iteratif).

Correction :

a) Chaque annee, on conserve 90% des clients et on ajoute 30 :

Cn+1 = 0.9 x Cn + 30

b) Calcul des termes :

C0 = 80

C1 = 0.9 x 80 + 30 = 72 + 30 = 102

C2 = 0.9 x 102 + 30 = 91.8 + 30 = 121.8

C3 = 0.9 x 121.8 + 30 = 109.62 + 30 = 139.62

c) Recherche de la limite :

Si Cn converge vers L : L = 0.9L + 30 L - 0.9L = 30 0.1L = 30 L = 300

La suite converge vers 300 clients.

d) Calcul iteratif :

• C0 = 80
• C1 = 102
• C2 = 121.8
• C3 = 139.62
• C4 = 0.9 x 139.62 + 30 = 125.658 + 30 = 155.658
• C5 = 0.9 x 155.658 + 30 = 140.0922 + 30 = 170.0922
• C6 = 0.9 x 170.0922 + 30 = 153.083 + 30 = 183.083
• C7 = 0.9 x 183.083 + 30 = 164.7747 + 30 = 194.7747
• C8 = 0.9 x 194.7747 + 30 = 175.2972 + 30 = 205.2972
• C9 = 0.9 x 205.2972 + 30 = 184.7675 + 30 = 214.7675
• C10 = 0.9 x 214.7675 + 30 = 193.2908 + 30 = 223.2908
• C11 = 0.9 x 223.2908 + 30 = 200.9617 + 30 = 230.9617
• C12 = 0.9 x 230.9617 + 30 = 207.8655 + 30 = 237.8655
• C13 = 0.9 x 237.8655 + 30 = 214.079 + 30 = 244.079
• C14 = 0.9 x 244.079 + 30 = 219.6711 + 30 = 249.6711
• C15 = 0.9 x 249.6711 + 30 = 224.704 + 30 = 254.704

L'entreprise depasse 250 clients a l'annee n = 15.

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Exercice 18 : Somme et budget informatique

Enonce : Le budget informatique d'une PME est de 20 000 euros la premiere annee. Il augmente de 8% par an. Calculer le budget cumule sur 5 ans.

Correction :

Suite geometrique : Bn = 20 000 x 1.08^(n-1), avec B1 = 20 000, q = 1.08.

Somme des 5 premiers termes (B1 a B5) :

S = B1 x (1 - q^5) / (1 - q) S = 20 000 x (1 - 1.08^5) / (1 - 1.08)

Calculons 1.08^5 :

• 1.08^2 = 1.1664
• 1.08^3 = 1.1664 x 1.08 = 1.259712
• 1.08^4 = 1.259712 x 1.08 = 1.36048896
• 1.08^5 = 1.36048896 x 1.08 = 1.46932808 (arrondi a 1.469328)

S = 20 000 x (1 - 1.469328) / (1 - 1.08) S = 20 000 x (-0.469328) / (-0.08) S = 20 000 x 5.8666 S = 117 332 euros (arrondi).

Le budget informatique cumule sur 5 ans est d'environ 117 332 euros.

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Exercice 19 : Suite arithmetique - determiner le rang

Enonce : Suite arithmetique : U0 = 3, r = 7. A partir de quel rang Un depasse-t-il 200 ?

Correction :

On cherche n tel que Un > 200.

Un = U0 + n x r = 3 + 7n

3 + 7n > 200 7n > 200 - 3 7n > 197 n > 197 / 7 n > 28.14...

Comme n est un entier, n >= 29.

Verification : U28 = 3 + 28 x 7 = 3 + 196 = 199 (ne depasse pas 200) U29 = 3 + 29 x 7 = 3 + 203 = 206 (depasse 200)

La suite depasse 200 a partir du rang n = 29.