Chapitre 72 minIntermédiaire
Convergence et limites
Par Josselyn C., prof de BTS SIO. Mis à jour le .
7.1 Suite arithmetique
Pour une suite arithmetique Un = U0 + n x r :
- Si r > 0 : lim(n->+inf) Un = +inf (la suite diverge vers +inf).
- Si r < 0 : lim(n->+inf) Un = -inf (la suite diverge vers -inf).
- Si r = 0 : Un = U0 pour tout n (la suite converge vers U0).
Une suite arithmetique (r different de 0) ne converge jamais.
7.2 Suite geometrique
Pour une suite geometrique Un = U0 x q^n (avec U0 different de 0) :
| Condition sur q | Comportement de q^n | Limite de Un |
|---|---|---|
| -1 < q < 1 (soit |q| < 1) | q^n tend vers 0 | Un tend vers 0 |
| q = 1 | q^n = 1 | Un = U0 (constante) |
| q > 1 | q^n tend vers +inf | Un tend vers +inf (si U0 > 0) ou -inf (si U0 < 0) |
| q = -1 | q^n alterne entre 1 et -1 | Pas de limite (diverge) |
| q < -1 | q^n oscille avec amplitude croissante | Pas de limite (diverge) |
Cas fondamental pour le BTS SIO : si |q| < 1, alors la suite geometrique converge vers 0.
7.3 Suite bornee
- Une suite est majoree s'il existe un reel M tel que Un <= M pour tout n.
- Une suite est minoree s'il existe un reel m tel que Un >= m pour tout n.
- Une suite est bornee si elle est a la fois majoree et minoree.
Propriete : Toute suite croissante et majoree converge. Toute suite decroissante et minoree converge.
7.4 Somme infinie d'une suite geometrique
Si |q| < 1, la somme de tous les termes (somme infinie) converge :
S = U0 / (1 - q)
Exemple : U0 = 100, q = 0.5.
S = 100 / (1 - 0.5) = 100 / 0.5 = 200