Suites arithmétiques

2.1 Definition

Une suite (Un) est arithmetique si chaque terme s'obtient en ajoutant une constante r au terme precedent :

Un+1 = Un + r

Le nombre r est appele la raison de la suite.

• Si r > 0, la suite est croissante (les termes augmentent).
• Si r < 0, la suite est decroissante (les termes diminuent).
• Si r = 0, la suite est constante.

2.2 Terme general

A partir de la definition, on peut developper :

• U1 = U0 + r
• U2 = U1 + r = (U0 + r) + r = U0 + 2r
• U3 = U2 + r = (U0 + 2r) + r = U0 + 3r
• U4 = U3 + r = (U0 + 3r) + r = U0 + 4r

On observe le motif : a chaque rang n, on a ajoute r exactement n fois a U0.

Formule du terme general : Un = U0 + n x r

Si la suite commence au rang 1 (premier terme U1), la formule devient :

Un = U1 + (n - 1) x r

2.3 Calcul de la raison r

Si l'on connait deux termes consecutifs :

r = Un+1 - Un

Si l'on connait deux termes quelconques Up et Uq (avec p different de q) :

r = (Uq - Up) / (q - p)

Exemple : U3 = 11 et U7 = 27. Calculer r.

r = (U7 - U3) / (7 - 3) = (27 - 11) / 4 = 16 / 4 = 4

La raison vaut r = 4.

2.4 Calcul de U0

Connaissant un terme Up et la raison r :

U0 = Up - p x r

Exemple : U5 = 23 et r = 4. Calculer U0.

U0 = U5 - 5 x r = 23 - 5 x 4 = 23 - 20 = 3

2.5 Verifier qu'une suite est arithmetique

On calcule Un+1 - Un pour tout n. Si le resultat est une constante (independante de n), la suite est arithmetique et cette constante est la raison.

Exemple : Un = 5n + 3. Est-ce arithmetique ?

Un+1 = 5(n + 1) + 3 = 5n + 5 + 3 = 5n + 8

Un+1 - Un = (5n + 8) - (5n + 3) = 5n + 8 - 5n - 3 = 5

Le resultat est 5, constante. La suite est arithmetique de raison r = 5.