Applications concrètes en informatique et gestion

10.1 Amortissement lineaire

L'amortissement lineaire repartit le cout d'un bien de maniere egale chaque annee.

Principe : Un bien de valeur V est amorti sur N annees. L'annuite constante est a = V / N. La valeur nette comptable (VNC) apres n annees forme une suite arithmetique de raison r = -a.

VNC(n) = V - n x a = V - n x (V / N)

Exemple : Un serveur coute 10 000 euros, amorti sur 5 ans.

Annuite = 10 000 / 5 = 2 000 euros par an.

VNC(0) = 10 000
VNC(1) = 10 000 - 2 000 = 8 000
VNC(2) = 8 000 - 2 000 = 6 000
VNC(3) = 6 000 - 2 000 = 4 000
VNC(4) = 4 000 - 2 000 = 2 000
VNC(5) = 2 000 - 2 000 = 0

Suite arithmetique : U0 = 10 000, r = -2 000.

10.2 Amortissement degressif

L'amortissement degressif applique un taux fixe sur la valeur residuelle. La VNC forme une suite geometrique.

Principe : Taux d'amortissement t (en pourcentage). Chaque annee, on amortit t% de la VNC restante.

VNC(n) = V x (1 - t)^n

C'est une suite geometrique de premier terme V et de raison q = (1 - t).

Exemple : Serveur a 10 000 euros, taux degressif de 40%.

q = 1 - 0.40 = 0.60

VNC(0) = 10 000
VNC(1) = 10 000 x 0.60 = 6 000
VNC(2) = 6 000 x 0.60 = 3 600
VNC(3) = 3 600 x 0.60 = 2 160
VNC(4) = 2 160 x 0.60 = 1 296
VNC(5) = 1 296 x 0.60 = 777.60

10.3 Cout de maintenance informatique croissant

Le cout de maintenance d'un parc informatique augmente souvent chaque annee d'un montant fixe (suite arithmetique) ou d'un pourcentage fixe (suite geometrique).

Exemple arithmetique : Le cout de maintenance la premiere annee est de 5 000 euros et augmente de 800 euros par an.

Un = 5 000 + n x 800, avec n le nombre d'annees ecoulees apres la premiere.

U0 = 5 000, U1 = 5 800, U2 = 6 600, ...

Cout total sur 6 ans (U0 a U5) :

U5 = 5 000 + 5 x 800 = 5 000 + 4 000 = 9 000

S = 6 x (5 000 + 9 000) / 2 = 6 x 14 000 / 2 = 6 x 7 000 = 42 000 euros.

Exemple geometrique : Le cout augmente de 10% par an, partant de 5 000 euros.

Un = 5 000 x 1.10^n.

U5 = 5 000 x 1.10^5 = 5 000 x 1.61051 = 8 052.55 euros.

Cout total sur 6 ans (U0 a U5) :

S = 5 000 x (1 - 1.10^6) / (1 - 1.10) S = 5 000 x (1 - 1.771561) / (-0.10) S = 5 000 x (-0.771561) / (-0.10) S = 5 000 x 7.71561 S = 38 578.05 euros.

10.4 Evolution du parc informatique

Exemple : Une entreprise possede 200 postes. Chaque annee, elle ajoute 50 postes.

Suite arithmetique : P(n) = 200 + 50n.

P(0) = 200, P(1) = 250, P(5) = 200 + 50 x 5 = 200 + 250 = 450 postes.

Variante geometrique : L'entreprise augmente son parc de 15% par an.

P(n) = 200 x 1.15^n.

P(5) = 200 x 1.15^5 = 200 x 2.011357 = 402.27, soit environ 402 postes.

10.5 Placement financier (interets composes)

Un capital C0 place a un taux annuel t (en decimal) donne, apres n annees :

Cn = C0 x (1 + t)^n

C'est une suite geometrique de raison q = 1 + t.

Exemple : 10 000 euros places a 3% par an.

q = 1 + 0.03 = 1.03

C0 = 10 000
C1 = 10 000 x 1.03 = 10 300
C2 = 10 300 x 1.03 = 10 609
C3 = 10 609 x 1.03 = 10 927.27
C5 = 10 000 x 1.03^5 = 10 000 x 1.159274 = 11 592.74
C10 = 10 000 x 1.03^10 = 10 000 x 1.343916 = 13 439.16

10.6 Loi de Moore

La loi de Moore enonce que le nombre de transistors sur une puce double environ tous les 2 ans.

Si T0 est le nombre de transistors au temps initial, apres n periodes de 2 ans :

T(n) = T0 x 2^n

C'est une suite geometrique de raison q = 2.

Exemple : En 2000, une puce contient 42 millions de transistors.

T(0) = 42 000 000 (annee 2000)
T(1) = 42 000 000 x 2 = 84 000 000 (annee 2002)
T(5) = 42 000 000 x 2^5 = 42 000 000 x 32 = 1 344 000 000 (annee 2010)
T(10) = 42 000 000 x 2^10 = 42 000 000 x 1 024 = 43 008 000 000 (annee 2020)

10.7 Complexite algorithmique

Les suites permettent de comprendre la croissance de la complexite algorithmique.

O(n) : complexite lineaire. Le temps d'execution forme une suite arithmetique si l'on incremente la taille de 1 a chaque pas. Exemple : parcourir un tableau de n elements.
O(n^2) : complexite quadratique. Un = n^2 croit beaucoup plus vite. Exemple : tri par selection, double boucle imbriquee.
O(2^n) : complexite exponentielle. Un = 2^n est une suite geometrique de raison 2. Elle explose rapidement. Exemple : exploration de tous les sous-ensembles.
O(log n) : complexite logarithmique. La dichotomie divise l'espace de recherche par 2 a chaque etape, ce qui est l'inverse d'une suite geometrique.

Comparaison pour n = 10 :

n = 10
n^2 = 100
2^n = 1 024
log2(n) = 3.32 (arrondi)