Sens de variation

6.1 Definitions

• Une suite est croissante si pour tout n : Un+1 >= Un (ou de facon stricte : Un+1 > Un).
• Une suite est decroissante si pour tout n : Un+1 <= Un (ou de facon stricte : Un+1 < Un).
• Une suite est constante si pour tout n : Un+1 = Un.

6.2 Methode 1 : etudier Un+1 - Un

On calcule la difference Un+1 - Un :

• Si Un+1 - Un > 0 pour tout n, la suite est strictement croissante.
• Si Un+1 - Un < 0 pour tout n, la suite est strictement decroissante.
• Si Un+1 - Un = 0 pour tout n, la suite est constante.

Exemple : Un = n^2 - 3n.

Un+1 = (n + 1)^2 - 3(n + 1) Un+1 = n^2 + 2n + 1 - 3n - 3 Un+1 = n^2 - n - 2

Un+1 - Un = (n^2 - n - 2) - (n^2 - 3n) Un+1 - Un = n^2 - n - 2 - n^2 + 3n Un+1 - Un = 2n - 2

Signe de 2n - 2 :

• 2n - 2 > 0 quand n > 1
• 2n - 2 = 0 quand n = 1
• 2n - 2 < 0 quand n < 1, c'est-a-dire n = 0

La suite est decroissante pour n = 0 (U1 < U0), puis croissante a partir de n = 2.

6.3 Methode 2 : etudier Un+1 / Un (termes strictement positifs)

Si tous les termes sont strictement positifs, on calcule Un+1 / Un :

• Si Un+1 / Un > 1 pour tout n, la suite est strictement croissante.
• Si Un+1 / Un < 1 pour tout n, la suite est strictement decroissante.
• Si Un+1 / Un = 1 pour tout n, la suite est constante.

Cette methode est particulierement adaptee aux suites geometriques.

Exemple : Suite geometrique de raison q = 0.8 et U0 = 100 > 0.

Un+1 / Un = q = 0.8 < 1, donc la suite est strictement decroissante.

6.4 Methode 3 : etudier la fonction associee

Si Un = f(n), on peut etudier la fonction f sur [0 ; +inf[. Si f est croissante (respectivement decroissante), alors la suite l'est aussi.