Suites définies par récurrence : calcul et représentation

8.1 Calcul des premiers termes

Pour une suite definie par U0 et Un+1 = f(Un), on calcule terme par terme.

Exemple : U0 = 2, Un+1 = 0.5 x Un + 3.

• U0 = 2
• U1 = 0.5 x 2 + 3 = 1 + 3 = 4
• U2 = 0.5 x 4 + 3 = 2 + 3 = 5
• U3 = 0.5 x 5 + 3 = 2.5 + 3 = 5.5
• U4 = 0.5 x 5.5 + 3 = 2.75 + 3 = 5.75
• U5 = 0.5 x 5.75 + 3 = 2.875 + 3 = 5.875

Les termes semblent se rapprocher de 6. En effet, si la suite converge vers une limite L, alors L = 0.5 x L + 3, soit 0.5L = 3, soit L = 6.

8.2 Representation graphique en escalier

Pour representer graphiquement la suite Un+1 = f(Un) :

1. Tracer la courbe y = f(x).
2. Tracer la droite y = x (premiere bissectrice).
3. Placer U0 sur l'axe des abscisses.
4. Monter verticalement jusqu'a la courbe y = f(x) : on lit U1 en ordonnee.
5. Aller horizontalement jusqu'a la droite y = x : on reporte U1 sur l'axe des abscisses.
6. Repeter : monter verticalement vers la courbe, puis horizontalement vers la droite.

Le dessin forme un motif en escalier si la suite est monotone (croissante ou decroissante). Il forme un motif en colimacon (spirale) si les termes oscillent autour de la limite.

8.3 Point fixe

Le point ou la courbe y = f(x) croise la droite y = x est appele point fixe. Si la suite converge, elle converge vers un point fixe. On le trouve en resolvant f(x) = x.