Somme des termes d'une suite arithmétique

3.1 Formule

La somme des n premiers termes (de U1 a Un) est :

S = n x (U1 + Un) / 2

Variante : la somme des (n + 1) termes de U0 a Un est :

S = (n + 1) x (U0 + Un) / 2

Formule generale : la somme de (nombre de termes) termes est :

S = nombre de termes x (premier terme + dernier terme) / 2

3.2 Demonstration intuitive (methode de Gauss)

Calculons S = 1 + 2 + 3 + ... + 100.

Ecrivons la somme dans les deux sens :

S =   1 +   2 +   3 + ... +  98 +  99 + 100
S = 100 +  99 +  98 + ... +   3 +   2 +   1

En additionnant terme a terme :

2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101 + 101

Il y a 100 termes, donc :

2S = 100 x 101 = 10 100

S = 10 100 / 2 = 5 050

Cela correspond a S = 100 x (1 + 100) / 2 = 100 x 101 / 2 = 5 050.

3.3 Nombre de termes

Le nombre de termes entre le rang p et le rang q (inclus) est :

Nombre de termes = q - p + 1

Exemple : De U3 a U10, il y a 10 - 3 + 1 = 8 termes.

3.4 Exemple pas a pas

Suite arithmetique : U0 = 2, r = 3. Calculer S = U0 + U1 + U2 + ... + U10.

Etape 1 : Calculer U10. U10 = U0 + 10 x r = 2 + 10 x 3 = 2 + 30 = 32

Etape 2 : Compter le nombre de termes. De U0 a U10 : 10 - 0 + 1 = 11 termes.

Etape 3 : Appliquer la formule. S = 11 x (U0 + U10) / 2 = 11 x (2 + 32) / 2 = 11 x 34 / 2 = 374 / 2 = 187

3.5 Somme des n premiers entiers

Cas particulier tres frequent : 1 + 2 + 3 + ... + n = n x (n + 1) / 2.

Exemple : 1 + 2 + 3 + ... + 50 = 50 x 51 / 2 = 2 550 / 2 = 1 275.