Suites géométriques

4.1 Definition

Une suite (Un) est geometrique si chaque terme s'obtient en multipliant le terme precedent par une constante q :

Un+1 = Un x q

Le nombre q est appele la raison de la suite.

• Si q > 1, la suite est croissante (termes positifs) ou decroissante (termes negatifs).
• Si 0 < q < 1, les termes se rapprochent de 0.
• Si q = 1, la suite est constante.
• Si q < 0, les termes alternent en signe.

4.2 Terme general

Developpons :

• U1 = U0 x q
• U2 = U1 x q = (U0 x q) x q = U0 x q^2
• U3 = U2 x q = (U0 x q^2) x q = U0 x q^3
• U4 = U3 x q = (U0 x q^3) x q = U0 x q^4

Formule du terme general : Un = U0 x q^n

Si la suite commence au rang 1 :

Un = U1 x q^(n-1)

4.3 Calcul de la raison q

Si l'on connait deux termes consecutifs (Un different de 0) :

q = Un+1 / Un

Si l'on connait deux termes quelconques Up et Uq (Up different de 0) :

q^(q-p) = Uq / Up, donc q = (Uq / Up)^(1/(q-p))

Exemple : U2 = 12 et U5 = 96. Calculer q.

q^(5-2) = U5 / U2 = 96 / 12 = 8

q^3 = 8

q = 8^(1/3) = 2

4.4 Calcul de U0

Connaissant un terme Up et la raison q :

U0 = Up / q^p

Exemple : U3 = 40 et q = 2. Calculer U0.

U0 = U3 / q^3 = 40 / 2^3 = 40 / 8 = 5

4.5 Verifier qu'une suite est geometrique

On calcule Un+1 / Un pour tout n (avec Un different de 0). Si le resultat est une constante, la suite est geometrique et cette constante est la raison.

Exemple : Un = 3 x 2^n. Est-ce geometrique ?

Un+1 = 3 x 2^(n+1) = 3 x 2^n x 2

Un+1 / Un = (3 x 2^n x 2) / (3 x 2^n) = 2

Le resultat est 2, constante. La suite est geometrique de raison q = 2.