Somme des termes d'une suite géométrique

5.1 Formule

La somme des (n + 1) premiers termes (de U0 a Un), avec q different de 1 :

S = U0 x (1 - q^(n+1)) / (1 - q)

Variante : la somme des n premiers termes (de U1 a Un) avec premier terme U1 :

S = U1 x (1 - q^n) / (1 - q)

Formule a retenir dans sa forme generale :

S = premier terme x (1 - q^(nombre de termes)) / (1 - q)

Si q = 1, tous les termes sont egaux et S = nombre de termes x U0.

5.2 Demonstration

Posons S = U0 + U0 x q + U0 x q^2 + ... + U0 x q^n.

Multiplions par q :

q x S = U0 x q + U0 x q^2 + U0 x q^3 + ... + U0 x q^(n+1)

Soustrayons :

S - q x S = U0 - U0 x q^(n+1)

S x (1 - q) = U0 x (1 - q^(n+1))

S = U0 x (1 - q^(n+1)) / (1 - q)

5.3 Exemple pas a pas

Suite geometrique : U0 = 3, q = 2. Calculer S = U0 + U1 + ... + U6.

Etape 1 : Compter le nombre de termes. De U0 a U6 : 6 - 0 + 1 = 7 termes.

Etape 2 : Appliquer la formule. S = U0 x (1 - q^7) / (1 - q) S = 3 x (1 - 2^7) / (1 - 2) S = 3 x (1 - 128) / (1 - 2) S = 3 x (-127) / (-1) S = 3 x 127 S = 381

Verification :

• U0 = 3
• U1 = 3 x 2 = 6
• U2 = 3 x 4 = 12
• U3 = 3 x 8 = 24
• U4 = 3 x 16 = 48
• U5 = 3 x 32 = 96
• U6 = 3 x 64 = 192

Somme = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 = 381. Confirme.

5.4 Autre exemple

U0 = 1000, q = 0.5. Calculer S = U0 + U1 + U2 + U3 + U4.

Nombre de termes : 5 (de U0 a U4).

S = 1000 x (1 - 0.5^5) / (1 - 0.5) S = 1000 x (1 - 0.03125) / 0.5 S = 1000 x 0.96875 / 0.5 S = 968.75 / 0.5 S = 1 937.5