Chapitre 127 minIntermédiaire
Formulaire des suites : l'aide-mémoire
Par Josselyn C., prof de BTS SIO. Mis à jour le .
À la fin de ce chapitre, tu sauras
- retrouver en un coup d'œil une formule ou une méthode ;
- éviter les erreurs qui coûtent le plus de points.
Cet aide-mémoire rassemble sur une page les formules, les méthodes, les touches de calculatrice et les modèles de programmes du cours sur les suites numériques, avec les erreurs qui coûtent le plus de points. Relis-le la veille de l'épreuve facultative de mathématiques approfondies ; chaque ligne renvoie au chapitre qui l'explique.
Le vocabulaire en une ligne
| Mot | Sens |
|---|---|
| Rang (ou indice) n | Le numéro d'un terme, un entier naturel |
| Terme uₙ | La valeur de la suite au rang n |
| Suite explicite | Définie par une formule uₙ = f(n) |
| Suite récurrente | Définie par un premier terme et une relation uₙ₊₁ = f(uₙ) |
| Raison | Ce qu'on ajoute (r, suite arithmétique) ou ce par quoi on multiplie (q, suite géométrique) à chaque rang |
| Coefficient multiplicateur | Le nombre 1 ± t/100 qui traduit une évolution de t % |
| Monotone | Croissante ou décroissante |
| Converge vers ℓ | Les termes se rapprochent autant qu'on veut de ℓ |
| Diverge | Ne converge pas : tend vers ±∞ ou n'a pas de limite |
| Point fixe | La solution de ℓ = a × ℓ + b, valeur d'équilibre d'une suite arithmético-géométrique |
| Suite auxiliaire | Une suite construite à partir de (uₙ), comme vₙ = uₙ − ℓ, plus simple à étudier |
| Seuil | Le premier rang à partir duquel uₙ dépasse (ou passe sous) une valeur donnée |
Suites arithmétiques et géométriques
| Arithmétique de raison r | Géométrique de raison q | |
|---|---|---|
| Récurrence | uₙ₊₁ = uₙ + r | uₙ₊₁ = q × uₙ |
| Terme général depuis u₀ | uₙ = u₀ + n × r | uₙ = u₀ × qⁿ |
| Depuis u₁ | uₙ = u₁ + (n − 1) × r | uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹ |
| Entre deux rangs | uₙ = uₚ + (n − p) × r | uₙ = uₚ × qⁿ⁻ᵖ |
| Raison à partir de deux termes | r = (uₖ − uₚ) / (k − p) | qᵏ⁻ᵖ = uₖ / uₚ |
| Pour reconnaître | uₙ₊₁ − uₙ constant | uₙ₊₁ / uₙ constant (termes non nuls) |
| Somme de N termes consécutifs | N × (premier + dernier) / 2 | premier × (1 − q^N) / (1 − q), q ≠ 1 |
| Sens de variation | Signe de r | q > 1 : croissante ; 0 < q < 1 : décroissante (si u₀ > 0) |
| Limite | +∞ si r > 0, −∞ si r < 0 | +∞ si q > 1, 0 si 0 < q < 1 (si u₀ > 0) |
| Croissance | Linéaire, points alignés | Exponentielle si q > 1 |
Pourcentages
| Ce que dit l'énoncé | Calcul |
|---|---|
| Augmente de t % | × (1 + t/100) |
| Diminue de t % | × (1 − t/100) |
| Évolution globale sur n périodes à t % | × (1 + t/100)ⁿ |
| Taux moyen quand la grandeur est multipliée par C en n périodes | q = C^(1/n), taux = (q − 1) × 100 % |
Les pourcentages successifs se multiplient, ils ne s'additionnent pas (chapitre 3).
Suites particulières
| Formule | Usage |
|---|---|
| Nombre de termes de uₚ à uₖ : k − p + 1 | Avant toute somme |
| 1 + 2 + … + n = n(n + 1) / 2 | Boucles imbriquées |
| 1 + 2 + 4 + … + 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ − 1 | Plus grand entier sur n bits |
| uₙ₊₁ = a uₙ + b : ℓ = b / (1 − a), vₙ = uₙ − ℓ géométrique de raison a, uₙ = ℓ + (u₀ − ℓ) × aⁿ | Suite arithmético-géométrique (chapitre 7) |
| M = C × i / (1 − (1 + i)^(−N)) | Mensualité d'un emprunt (chapitre 10) |
Seuils : les quatre méthodes
- Table de la calculatrice : TI-83 Premium CE (mode SUITE,
f(x), table avec2ndegraphe), Casio Graph 90+E (menu Récurrence,F3TYPE,F5SET,F6TABL), Graph Math+ (menu 7 Suites, onglet Table). - Tableur :
=B2*1,25recopié vers le bas ;=SI(B2>seuil;"dépassé";""). - Algorithme : boucle « tant que » avec la condition contraire du but.
- Calcul : inéquation pour une suite arithmétique ; logarithme pour une suite géométrique, en changeant le sens de l'inégalité si q < 1.
Dans tous les cas, encadre avec deux termes consécutifs et conclus avec la date (chapitre 8).
La calculatrice en un tableau
| Action | TI-83 Premium CE Edition Python | Casio Graph 90+E | Casio Graph Math+ |
|---|---|---|---|
| Ouvrir les suites | mode, ligne FONCTION … SUITE (5ᵉ ligne) : SUITE | Menu Récurrence (touche 8) | Menu 7 Suites |
| Choisir une récurrence | TYPE SUITE(n) : u(n) en fonction de u(n−1) (ou TYPE SUITE(n+1)) | F3 TYPE, puis F2 an+1 | Configuration > Type : Un+1 |
| Premier terme | Ligne u(nMin) | F5 SET : a0 | Ligne du premier terme, puis Exécuter |
| Afficher la table | 2nde graphe (réglages : 2nde fenêtre) | F6 TABL | Onglet Table |
| Sommes cumulées | somme(suite(…)) sur l'écran de calcul | Affichage Σ sur On dans SHIFT MENU | Affichage Σ dans SETTINGS |
Ces menus restent disponibles quand le mode examen est activé. Sur TI, en type SUITE(n), la relation uₙ₊₁ = 1,25 × uₙ s'écrit u(n)=1.25*u(n-1).
Les modèles Python
n, s, N = 12, 18.26, 6 # données de l'énoncé
# Terme de rang n d'une suite récurrente
u = 1000 # u0
for k in range(n): # n tours : u contient alors u(n)
u = 0.9 * u + 50
print(round(u, 2)) # 641.21
# Seuil : premier rang où u dépasse s (suite croissante)
u, rang = 9, 0
while u <= s: # condition pour CONTINUER
u = 1.25 * u
rang = rang + 1
print(rang) # 4
# Somme des termes u0 à u(N-1)
total = sum(5000 * 1.1**k for k in range(N))
print(round(total, 2)) # 38578.05
Les trois blocs sont des modèles : remplace la relation, le premier terme et les valeurs de n, s et N par celles de l'énoncé.
Les erreurs qui coûtent le plus de points
- Confondre uₙ₊₁ et uₙ + 1 : le premier est le terme suivant, le second ajoute 1 à la valeur (chapitre 1).
- Additionner des pourcentages : + 10 % trois fois, c'est × 1,331, soit + 33,1 %.
- Se tromper d'un terme : 11 termes de u₀ à u₁₀ ; l'exposant de la somme géométrique est le nombre de termes.
- Utiliser uₙ = u₁ + n × r quand la suite commence à u₁ : c'est (n − 1) × r.
- Écrire la condition d'arrêt dans le
whileau lieu de la condition pour continuer. - Oublier de changer le sens de l'inégalité en divisant par ln(q) < 0.
- Conclure par « n = 7 » sans dire l'année ni l'unité.
- Appliquer la méthode de la fonction associée à une suite récurrente : elle ne vaut que pour uₙ = f(n).
- Prouver qu'une suite est géométrique avec deux quotients : il faut le calcul général vₙ₊₁ = q × vₙ.