Chapitre 210 minIntermédiaire
Suite arithmétique : formule, raison et terme général
Par Josselyn C., prof de BTS SIO. Mis à jour le .
À la fin de ce chapitre, tu sauras
- reconnaître une suite arithmétique et trouver sa raison ;
- écrire son terme général à partir de u₀, de u₁ ou d'un terme quelconque ;
- retrouver la suite à partir de deux de ses termes ;
- déterminer à partir de quel rang une suite arithmétique dépasse une valeur.
4 exercices corrigés
Une suite arithmétique est une suite où l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, appelé la raison r : uₙ₊₁ = uₙ + r. Son terme général est uₙ = u₀ + n × r. Ce chapitre montre comment reconnaître une suite arithmétique, trouver sa raison et son premier terme, calculer n'importe quel terme et déterminer un rang ; c'est le modèle de toutes les croissances « d'une quantité fixe par période ».
Définition : on ajoute toujours le même nombre
Une suite (uₙ) est arithmétique s'il existe un nombre r tel que, pour tout entier naturel n :
uₙ₊₁ = uₙ + r
Le nombre r s'appelle la raison de la suite. Il peut être positif, négatif, entier ou décimal.
Exemple : un serveur de journaux contient déjà 180 Gio de journaux, et il en reçoit 12 Gio de plus chaque jour. Le volume au bout de n jours, en Gio, est la suite arithmétique de premier terme v₀ = 180 et de raison r = 12 : 180, 192, 204, 216…
| Rang n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| vₙ (Gio) | 180 | 192 | 204 | 216 | 228 |
| Écart avec le terme précédent | + 12 | + 12 | + 12 | + 12 |
Reconnaître une suite arithmétique
Trois situations se présentent à l'examen.
On te donne une relation de récurrence. Si elle a la forme uₙ₊₁ = uₙ + (un nombre fixe), la suite est arithmétique et ce nombre est sa raison. Par exemple wₙ₊₁ = wₙ − 0,5 : suite arithmétique de raison −0,5.
On te donne des termes ou un tableau. Calcule les écarts entre termes consécutifs. S'ils sont tous égaux, la suite semble arithmétique ; s'il y a deux écarts différents, elle ne l'est pas.
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | Écarts | Conclusion |
|---|---|---|---|---|---|---|
| aₙ | 7 | 10,5 | 14 | 17,5 | 3,5 ; 3,5 ; 3,5 | Arithmétique de raison 3,5, d'après ces termes |
| bₙ | 2 | 4 | 7 | 11 | 2 ; 3 ; 4 | Pas arithmétique |
On te donne une formule explicite. Calcule uₙ₊₁ − uₙ en fonction de n. Si le résultat est un nombre qui ne dépend pas de n, la suite est arithmétique et ce nombre est la raison.
Exemple : uₙ = 5n + 3.
uₙ₊₁ = 5(n + 1) + 3 = 5n + 8
uₙ₊₁ − uₙ = (5n + 8) − (5n + 3) = 5
La différence vaut 5 pour tout n : (uₙ) est arithmétique de raison 5 et de premier terme u₀ = 3. Plus généralement, toute suite de la forme uₙ = a × n + b (une expression affine en n) est arithmétique de raison a.
Contre-exemple : vₙ = n² + 1 donne vₙ₊₁ − vₙ = (n + 1)² + 1 − n² − 1 = 2n + 1, qui dépend de n. La suite n'est pas arithmétique.
Le terme général : uₙ = u₀ + n × r
Pour aller de u₀ à uₙ, on ajoute la raison n fois :
u₁ = u₀ + r
u₂ = u₁ + r = u₀ + 2r
u₃ = u₂ + r = u₀ + 3r
…
uₙ = u₀ + n × r
Pour le serveur de journaux : vₙ = 180 + 12n. Au bout de 30 jours, v₃₀ = 180 + 12 × 30 = 540 Gio, sans calculer les 29 termes intermédiaires.
Trouver la raison et le premier terme à partir de deux termes
Si tu connais deux termes uₚ et uₖ (avec p < k), il y a k − p raisons entre eux :
uₖ = uₚ + (k − p) × r donc r = (uₖ − uₚ) / (k − p)
Exemple : une suite arithmétique vérifie u₃ = 11 et u₇ = 27.
- Raison : r = (27 − 11) / (7 − 3) = 16 / 4 = 4.
- Premier terme : u₀ = u₃ − 3 × r = 11 − 12 = −1.
- Terme général : uₙ = −1 + 4n. Vérification : u₇ = −1 + 28 = 27.
Sens de variation et représentation graphique
Puisque uₙ₊₁ − uₙ = r pour tout n, le signe de la raison décide de tout :
| Raison | Sens de variation | Exemple |
|---|---|---|
| r > 0 | Strictement croissante | Le volume de journaux, r = 12 |
| r < 0 | Strictement décroissante | La valeur d'un matériel amorti en linéaire, r = −2 400 |
| r = 0 | Constante | Un abonnement dont le prix ne change pas |
Les points (n ; uₙ) d'une suite arithmétique sont alignés : ils sont tous sur la droite d'équation y = u₀ + r × x, de pente r. On parle de croissance linéaire : la quantité augmente du même montant à chaque période. Le chapitre 3 compare cette croissance à celle des suites géométriques.
Déterminer un rang
Les questions « à partir de quand ? » reviennent dans presque tous les sujets. Pour une suite arithmétique, on résout une inéquation du premier degré.
Exemple : le disque du serveur de journaux sature à 900 Gio. Au bout de combien de jours est-il plein ?
180 + 12n ≥ 900
12n ≥ 720
n ≥ 60
Le disque est plein au bout de 60 jours : v₆₀ = 180 + 12 × 60 = 900. La veille, v₅₉ = 888 Gio.
Où l'on rencontre les suites arithmétiques
- Un volume qui augmente d'une quantité fixe : journaux, sauvegardes incrémentales de taille stable, nombre de postes livrés chaque année.
- Un coût qui augmente d'un montant fixe : contrat de maintenance indexé de 150 € par an.
- La valeur d'un bien amorti de façon linéaire : elle baisse chaque année de la même annuité (chapitre 10).
- Les intérêts simples, calculés toujours sur le capital de départ (chapitre 10).
- Le nombre de tours d'une boucle simple quand la taille des données augmente d'un pas fixe (chapitre 9).
Exercices
Exercice 1 sur 4 Arithmétique ou pas ? Réussi À revoir
Pour chaque suite, dis si elle est arithmétique. Si oui, donne sa raison et son premier terme.
- aₙ = 7 − 2n
- bₙ = n(n + 1)
- c₀ = 4 et cₙ₊₁ = cₙ − 0,5
- dₙ = 3(n + 2)
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 1
- aₙ₊₁ − aₙ = 7 − 2(n + 1) − (7 − 2n) = −2 : arithmétique de raison −2, premier terme a₀ = 7.
- bₙ₊₁ − bₙ = (n + 1)(n + 2) − n(n + 1) = 2n + 2 dépend de n : pas arithmétique (b₀ = 0, b₁ = 2, b₂ = 6 : écarts 2 puis 4).
- La relation a la forme cₙ₊₁ = cₙ + r : arithmétique de raison −0,5, premier terme c₀ = 4.
- dₙ = 3n + 6 est affine en n : arithmétique de raison 3, premier terme d₀ = 6.
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Exercice 2 sur 4 Retrouver la suite à partir de deux termes Réussi À revoir
(uₙ) est une suite arithmétique telle que u₄ = 18 et u₉ = 43.
- Calcule sa raison.
- Calcule u₀ et écris uₙ en fonction de n.
- Calcule u₂₀.
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 2
- r = (43 − 18) / (9 − 4) = 25 / 5 = 5.
- u₀ = u₄ − 4 × 5 = 18 − 20 = −2, donc uₙ = −2 + 5n. Vérification : u₉ = −2 + 45 = 43.
- u₂₀ = −2 + 5 × 20 = 98.
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Exercice 3 sur 4 Les tickets du support Réussi À revoir
Une équipe de support a traité 1 450 tickets en 2026 et prévoit d'en traiter 120 de plus chaque année. On note tₙ le nombre de tickets traités l'année 2026 + n.
- Exprime tₙ en fonction de n.
- Combien de tickets l'équipe traitera-t-elle en 2030 ?
- À partir de quelle année traitera-t-elle plus de 2 000 tickets ?
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 3
- (tₙ) est arithmétique de premier terme t₀ = 1 450 et de raison 120 : tₙ = 1 450 + 120n.
- 2030 correspond à n = 4 : t₄ = 1 450 + 480 = 1 930 tickets.
- 1 450 + 120n > 2 000 ⟺ 120n > 550 ⟺ n > 4,58… Le plus petit entier qui convient est n = 5, soit l'année 2031 (t₅ = 2 050). Vérification : t₄ = 1 930 ne dépasse pas 2 000.
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Exercice 4 sur 4 Programmer une suite arithmétique Réussi À revoir
Écris une fonction Python terme(u0, r, n) qui renvoie le terme de rang n d'une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r, puis utilise-la pour afficher le volume du serveur de journaux (u₀ = 180, r = 12) au bout de 45 jours.
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 4
Avec la formule explicite, pas besoin de boucle :
def terme(u0, r, n):
return u0 + n * r
print(terme(180, 12, 45)) # 720
Le programme affiche 720 : au bout de 45 jours, le serveur contient 720 Gio de journaux.
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