Limite d'une suite : convergence et suite géométrique

La limite d'une suite décrit le comportement de ses termes quand le rang n devient très grand : ils peuvent se rapprocher d'un nombre (la suite converge vers ce nombre), devenir aussi grands qu'on veut (elle tend vers +∞), aussi petits qu'on veut (−∞), ou n'avoir aucun comportement stable. Pour une suite géométrique uₙ = u₀ × qⁿ à raison positive, tout dépend de la position de q par rapport à 1. Ce chapitre donne le vocabulaire, les limites de référence, le résultat sur qⁿ, et la méthode expérimentale demandée par le programme : chercher un seuil avec un outil.

L'idée de limite

Reprends trois suites des chapitres précédents et calcule des termes de plus en plus loin :

Les valeurs sont arrondies. Ces trois comportements ont un nom.

Le programme demande une approche expérimentale : on observe le comportement avec une calculatrice, un tableur ou un programme, et on admet les résultats ci-dessous sans démonstration.

Les limites de référence

La dernière ligne règle le cas des suites arithmétiques : si r > 0, uₙ = u₀ + n × r tend vers +∞ ; si r < 0, vers −∞ ; si r = 0, la suite est constante et converge vers u₀. Une suite arithmétique de raison non nulle ne converge donc jamais.

La limite d'une suite géométrique

C'est le résultat central du module.

Avec 1,2ⁿ, il suffit de 10 rangs pour multiplier par plus de 6, et 1,2⁵⁰ dépasse 9 000. Avec 0,7ⁿ, dix rangs suffisent pour passer sous 0,03. Plus q est proche de 1, plus l'évolution est lente, mais la conclusion ne change pas : 1,01ⁿ finit par dépasser n'importe quel nombre, et 0,99ⁿ par passer sous n'importe quel seuil positif.

Calculer une limite simple

Les sujets combinent ces résultats avec des règles intuitives, admises :

• Somme : si un terme tend vers un nombre et l'autre aussi, la somme tend vers la somme des deux ; si l'un tend vers +∞ et l'autre vers un nombre, la somme tend vers +∞.
• Produit par un nombre : multiplier par un nombre positif garde la limite ; par un nombre négatif, +∞ devient −∞.
• Inverse : si les termes (positifs) tendent vers +∞, leurs inverses tendent vers 0.

Exemples :

• uₙ = 500 × 0,8ⁿ + 20 : 0,8ⁿ tend vers 0, donc 500 × 0,8ⁿ aussi, et lim uₙ = 20. Les termes 520 ; 183,84 ; 73,69 ; 25,76 (rangs 0, 5, 10, 20) le confirment.
• vₙ = 3 − 2 × 1,5ⁿ : 1,5ⁿ tend vers +∞, donc −2 × 1,5ⁿ tend vers −∞, et lim vₙ = −∞.
• wₙ = 5 / (n + 1) : n + 1 tend vers +∞, donc lim wₙ = 0.

Trouver un seuil : l'approche expérimentale du programme

Le programme formule la compétence ainsi : pour une suite géométrique, utiliser un tableur ou un algorithme pour déterminer, quand c'est possible, un seuil à partir duquel uₙ dépasse une valeur a, ou un seuil à partir duquel uₙ passe sous 10⁻ᵖ. C'est la traduction concrète de la limite : dire que 0,8ⁿ tend vers 0, c'est dire que, quel que soit le seuil 10⁻ᵖ choisi, les termes finissent par passer dessous et y rester.

Exemple : à partir de quel rang 0,8ⁿ ≤ 10⁻³ ?

• Au tableur : une colonne n, une colonne =0,8^A2, on recopie vers le bas et on lit : 0,8³⁰ ≈ 0,00124 est encore au-dessus de 0,001, 0,8³¹ ≈ 0,00099 est en dessous.
• Avec un algorithme : une boucle while qui multiplie par 0,8 tant que le terme est au-dessus du seuil (chapitre 8).
• Par le calcul, avec le logarithme népérien ln (méthode et changement de sens de l'inégalité au chapitre 8) : n ≥ ln(0,001) / ln(0,8) ≈ 30,96, donc n = 31.

Réponse : à partir du rang 31. Comme la suite est décroissante, tous les termes suivants restent sous le seuil.

Croissances comparées : n, n², 2ⁿ

Toutes les suites qui tendent vers +∞ n'y vont pas à la même vitesse. Compare :

Une suite géométrique de raison q > 1 finit par dépasser n'importe quelle puissance de n, et toute puissance de n finit par dépasser un logarithme. On résume : le logarithme est négligeable devant les puissances, les puissances devant l'exponentielle. En informatique, c'est la hiérarchie des complexités : un algorithme en log₂(n) opérations, comme la recherche dichotomique, reste rapide même sur un milliard de données ; un algorithme en 2ⁿ devient inutilisable dès quelques dizaines d'éléments (chapitre 9).

Exercices

Exercice 1 sur 4 Des limites à lire Réussi À revoir

Donne la limite de chaque suite, en justifiant en une phrase.

1. aₙ = 4 − 3 × 0,5ⁿ
2. bₙ = 2 × 1,5ⁿ − 7
3. cₙ = 5 / (n + 1)
4. dₙ = −2n + 9
5. eₙ = 100 × 0,9ⁿ + n

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1. 0,5ⁿ tend vers 0 (0 < 0,5 < 1), donc 3 × 0,5ⁿ aussi : lim aₙ = 4.
2. 1,5ⁿ tend vers +∞ (1,5 > 1), donc 2 × 1,5ⁿ aussi, et retirer 7 n'y change rien : lim bₙ = +∞.
3. n + 1 tend vers +∞, donc son inverse multiplié par 5 tend vers 0 : lim cₙ = 0.
4. Suite arithmétique de raison −2 < 0 : lim dₙ = −∞.
5. 100 × 0,9ⁿ tend vers 0 et n tend vers +∞ : lim eₙ = +∞.

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Exercice 2 sur 4 Un seuil 10⁻ᵖ Réussi À revoir

On considère uₙ = 0,95ⁿ.

1. Quelle est la limite de la suite ?
2. À partir de quel rang a-t-on uₙ ≤ 0,01 ? Donne la méthode utilisée et les deux termes qui encadrent le seuil.

Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 2

1. 0 < 0,95 < 1, donc lim uₙ = 0.
2. Au tableur, à la calculatrice ou avec une boucle, on trouve u₈₉ ≈ 0,01041 > 0,01 et u₉₀ ≈ 0,00989 ≤ 0,01. Par le calcul : n ≥ ln(0,01) / ln(0,95) ≈ 89,78. La suite étant décroissante, uₙ ≤ 0,01 à partir du rang 90.

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Exercice 3 sur 4 La campagne de sensibilisation Réussi À revoir

Une entreprise envoie chaque semaine un faux courriel d'hameçonnage à ses salariés, dans le cadre d'une campagne de sensibilisation. La première semaine, 120 salariés cliquent sur le lien. On estime que chaque semaine, le nombre de salariés qui cliquent diminue de 40 %.

1. On note cₙ le nombre de clics la semaine n (c₀ = 120). Exprime cₙ en fonction de n.
2. Quelle est la limite de (cₙ) ? Interprète.
3. À partir de quelle semaine le modèle prévoit-il moins d'un clic ?

Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 3

1. Diminuer de 40 %, c'est multiplier par 0,6 : cₙ = 120 × 0,6ⁿ.
2. 0 < 0,6 < 1, donc lim cₙ = 0 : à long terme, le modèle prévoit que plus personne ne clique. Dans la réalité, il reste toujours quelques clics : un modèle n'est valable que sur une durée raisonnable.
3. c₉ ≈ 1,21 et c₁₀ ≈ 0,73. Le modèle prévoit moins d'un clic à partir de n = 10, c'est-à-dire la onzième semaine de la campagne (la première semaine correspond à n = 0). Par le calcul : n > ln(1/120) / ln(0,6) ≈ 9,37.

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Exercice 4 sur 4 Puissance ou exponentielle ? Réussi À revoir

Compare 2ⁿ et n² pour n allant de 1 à 7. À partir de quel rang a-t-on toujours 2ⁿ > n² ? Quel résultat du cours ce tableau illustre-t-il ?

Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 4

n	1	2	3	4	5	6	7
2ⁿ	2	4	8	16	32	64	128
n²	1	4	9	16	25	36	49

Les deux sont égaux pour n = 2 et n = 4, et n² est plus grand pour n = 3. À partir de n = 5, on a toujours 2ⁿ > n², et l'écart ne cesse de grandir. C'est la croissance comparée : une suite géométrique de raison supérieure à 1 finit toujours par dépasser une puissance de n.

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