Intérêts, emprunt et amortissement : les suites en gestion

En gestion, les suites décrivent l'argent qui évolue dans le temps : un capital placé à intérêts simples suit une suite arithmétique, à intérêts composés une suite géométrique ; le capital restant dû d'un emprunt suit une suite arithmético-géométrique ; la valeur comptable d'un matériel informatique amorti suit une suite arithmétique (amortissement linéaire) ou géométrique (dégressif). Ce chapitre applique les chapitres 2 à 7 à ces calculs, qui reviennent dans les sujets et dans les choix d'investissement d'un service informatique : acheter, emprunter ou louer.

Intérêts simples et intérêts composés

Un capital C₀ placé au taux annuel t rapporte des intérêts chaque année.

• Intérêts simples : les intérêts sont calculés chaque année sur le capital de départ. On ajoute toujours la même somme C₀ × t : le capital suit une suite arithmétique, Cₙ = C₀ + n × C₀ × t = C₀ × (1 + n × t).
• Intérêts composés : les intérêts de chaque année s'ajoutent au capital et produisent à leur tour des intérêts. On multiplie chaque année par 1 + t : le capital suit une suite géométrique, Cₙ = C₀ × (1 + t)ⁿ.

Exemple : 10 000 € placés à 3 % par an pendant 10 ans.

Les « intérêts sur les intérêts » rapportent 439,16 € de plus en dix ans, et l'écart grandit avec le temps, comme toute croissance exponentielle face à une croissance linéaire (chapitre 3). Les livrets d'épargne et les emprunts bancaires fonctionnent en intérêts composés.

Taux annuel et taux mensuel

Un emprunt se rembourse en général par mensualités : il faut un taux mensuel. Dans les calculs de prêts, on prend habituellement le taux proportionnel, le taux annuel divisé par 12 : un prêt à 4,8 % par an donne un taux mensuel de 0,4 %. L'énoncé précise toujours le taux à utiliser ; s'il donne directement un taux mensuel, utilise-le tel quel.

L'emprunt à mensualités constantes

Une PME emprunte C = 30 000 € pour renouveler ses serveurs, sur N = 36 mois, au taux annuel de 4,8 %, soit i = 0,004 par mois. Elle rembourse chaque mois la même somme M, la mensualité.

Chaque mois, le capital restant dû produit des intérêts, puis la mensualité est déduite. Le capital restant dû Rₖ après k mois suit donc la relation :

R₀ = 30000
Rₖ₊₁ = (1 + i) × Rₖ − M = 1,004 × Rₖ − M

C'est une suite arithmético-géométrique (chapitre 7). Son point fixe est ℓ = M / i, et la méthode du chapitre 7 donne Rₖ = ℓ + (R₀ − ℓ) × (1 + i)ᵏ. La banque choisit M pour que le prêt soit soldé au bout de N mois : R_N = 0. En résolvant cette équation, on obtient la formule de la mensualité.

Pour la PME : M = 30 000 × 0,004 / (1 − 1,004^(−36)) ≈ 896,44 € par mois. Elle rembourse au total environ 32 271,68 €, soit un coût du crédit d'environ 2 271,68 €.

Le tableau d'amortissement du prêt détaille chaque mensualité : la part d'intérêts (i × capital restant), la part de capital remboursé (M moins les intérêts) et le capital restant dû.

Les intérêts diminuent à chaque mois, puisqu'ils portent sur un capital qui baisse, et la part de capital remboursé augmente d'autant. Au début du prêt, on rembourse surtout des intérêts ; à la fin, surtout du capital.

Amortissement linéaire : une suite arithmétique

Pour la comptabilité, un serveur acheté n'est pas une dépense d'une seule année : son coût est réparti sur sa durée d'utilisation. C'est l'amortissement ; la valeur restante dans les comptes s'appelle la valeur nette comptable (VNC). Le cours GLPI montre comment GLPI calcule et affiche la VNC de chaque matériel.

En amortissement linéaire, on retire chaque année la même annuité, valeur d'achat ÷ durée. Un serveur de 12 000 € amorti sur 5 ans perd 2 400 € par an : sa VNC est la suite arithmétique Vₙ = 12 000 − 2 400n, de raison −2 400.

Amortissement dégressif : une suite géométrique, puis un passage au linéaire

En amortissement dégressif, on applique chaque année un taux fixe à la VNC restante : la VNC est multipliée chaque année par 1 − taux, c'est une suite géométrique. Le taux dégressif est le taux linéaire multiplié par un coefficient fixé par l'article 39 A du code général des impôts : 1,25 pour une durée de 3 ou 4 ans, 1,75 pour 5 ou 6 ans, 2,25 au-delà de 6 ans.

Pour le serveur de 12 000 € sur 5 ans : taux linéaire 20 %, coefficient 1,75, taux dégressif 35 %. Tant que le dégressif s'applique, Vₙ = 12 000 × 0,65ⁿ. Mais une suite géométrique ne s'annule jamais : on ne finirait jamais d'amortir. La règle comptable prévoit donc de passer en linéaire dès que l'annuité linéaire calculée sur les années restantes devient plus forte que l'annuité dégressive.

Les trois premières VNC (7 800 ; 5 070 ; 3 295,50) sont bien 12 000 × 0,65ⁿ. L'année 4, l'annuité linéaire l'emporte et le reste est amorti en deux annuités égales.

Exercices