Suite arithmético-géométrique : uₙ₊₁ = a × uₙ + b

Une suite arithmético-géométrique est une suite définie par son premier terme et une relation uₙ₊₁ = a × uₙ + b, où a et b sont deux nombres fixes : à chaque étape, on multiplie par a puis on ajoute b. Elle modélise les situations où une part se perd (ou s'ajoute en pourcentage) et une quantité fixe arrive : abonnés qui se désinscrivent et s'inscrivent, tickets résolus et reçus, capital d'un emprunt qui produit des intérêts et diminue des mensualités. Ce chapitre montre la méthode que tous les sujets suivent : trouver le point fixe, montrer qu'une suite auxiliaire est géométrique, en déduire la formule explicite et la limite.

Définition et premiers termes

Une suite (uₙ) est arithmético-géométrique s'il existe deux nombres a et b tels que, pour tout entier naturel n :

uₙ₊₁ = a × uₙ + b

Si a = 1, on retrouve une suite arithmétique (uₙ₊₁ = uₙ + b) ; si b = 0, une suite géométrique (uₙ₊₁ = a × uₙ). Le cas intéressant est donc a ≠ 1 et b ≠ 0.

L'exemple qui sert de fil rouge à ce chapitre : une liste de diffusion compte 1 000 abonnés. Chaque mois, 20 % des abonnés se désinscrivent et 300 nouvelles personnes s'inscrivent. Avec aₙ le nombre d'abonnés au bout de n mois :

a₀ = 1000
aₙ₊₁ = 0,8 × aₙ + 300

La suite augmente, de moins en moins vite. Elle n'est ni arithmétique (écarts 100, 80, 64…) ni géométrique (quotients 1,1 ; 1,073…). On ne peut donc pas utiliser directement les formules des chapitres 2 et 3 : il faut une méthode.

Le point fixe : la valeur d'équilibre

Si la suite se stabilise sur une valeur ℓ, alors à l'équilibre le terme suivant est égal au précédent : ℓ = a × ℓ + b. On résout :

ℓ = a × ℓ + b
ℓ − a × ℓ = b
ℓ × (1 − a) = b
ℓ = b / (1 − a)        (a ≠ 1)

Pour les abonnés : ℓ = 300 / (1 − 0,8) = 300 / 0,2 = 1 500. Interprétation : avec 1 500 abonnés, 20 % de départs, c'est 300 personnes, exactement compensées par les 300 inscriptions. Le nombre d'abonnés ne bouge plus.

La suite auxiliaire est géométrique

On pose vₙ = uₙ − ℓ : l'écart entre le terme et la valeur d'équilibre. Cet écart, lui, est géométrique. Pour les abonnés, vₙ = aₙ − 1 500 :

vₙ₊₁ = aₙ₊₁ − 1500
     = 0,8 × aₙ + 300 − 1500
     = 0,8 × aₙ − 1200
     = 0,8 × (aₙ − 1500)
     = 0,8 × vₙ

L'avant-dernière ligne est l'étape clé : on factorise par 0,8, et 1 200 / 0,8 = 1 500 fait réapparaître aₙ − 1 500. (vₙ) est géométrique de raison 0,8, de premier terme v₀ = a₀ − 1 500 = −500.

Le même calcul marche toujours, quel que soit l'exemple : vₙ₊₁ = a × uₙ + b − ℓ, et comme b = ℓ − a × ℓ (c'est la définition de ℓ), on obtient a × uₙ − a × ℓ = a × vₙ. La raison de la suite auxiliaire est toujours a, le coefficient multiplicateur de la relation.

La formule explicite

Pour les abonnés : vₙ = −500 × 0,8ⁿ, donc aₙ = 1 500 − 500 × 0,8ⁿ.

La formule se vérifie sur les premiers termes : a₀ = 1 500 − 500 = 1 000 ; a₁ = 1 500 − 400 = 1 100 ; a₂ = 1 500 − 320 = 1 180. Elle donne directement un terme lointain : a₁₂ = 1 500 − 500 × 0,8¹² ≈ 1 465,64 abonnés.

Pour le dossier partagé du chapitre 1 (u₀ = 1 000, uₙ₊₁ = 0,9 × uₙ + 50) : ℓ = 50 / 0,1 = 500, v₀ = 500, donc uₙ = 500 + 500 × 0,9ⁿ. On retrouve u₁₂ = 500 + 500 × 0,9¹² ≈ 641,21 Go, sans calculer les onze termes intermédiaires.

Limite et sens de variation

La formule uₙ = ℓ + (u₀ − ℓ) × aⁿ dit tout, grâce au chapitre 6 :

Pour le sens de variation avec 0 < a < 1 : si u₀ < ℓ, l'écart vₙ est négatif et rétrécit, la suite est croissante et monte vers ℓ (les abonnés) ; si u₀ > ℓ, elle est décroissante et descend vers ℓ (le dossier partagé). Pour le justifier proprement : vₙ = v₀ × aⁿ est géométrique, son sens se lit sur v₀ et a (chapitre 5), et uₙ = vₙ + ℓ a le même sens que vₙ.

Pour les abonnés : v₀ = −500 < 0 et 0 < 0,8 < 1, donc (vₙ) est croissante, (aₙ) aussi, et lim aₙ = 1 500. La liste se rapproche de 1 500 abonnés sans jamais les atteindre.

La représentation en escalier

Pour une suite récurrente uₙ₊₁ = f(uₙ), on peut construire les termes sur un graphique, sans calcul : on trace la droite y = f(x) et la droite y = x.

1. On place u₀ sur l'axe des abscisses.
2. On monte (ou descend) verticalement jusqu'à la droite y = f(x) : l'ordonnée du point atteint est u₁.
3. On se déplace horizontalement jusqu'à la droite y = x : on y lit u₁ en abscisse.
4. On recommence depuis u₁ pour obtenir u₂, et ainsi de suite.

L'escalier converge vers l'intersection des deux droites : c'est le point fixe, solution de f(x) = x. Le dessin montre en un coup d'œil le sens de variation (l'escalier descend) et la limite (le point où il s'arrête). Si a était supérieur à 1, la droite y = f(x) serait plus pentue que y = x et l'escalier s'éloignerait du point fixe.

Comment un sujet te guide

Les questions d'un exercice sur une suite arithmético-géométrique s'enchaînent presque toujours ainsi :

1. Modéliser : « justifier que aₙ₊₁ = 0,8aₙ + 300 ». On explique en une phrase : 80 % restent, 300 arrivent.
2. Calculer les premiers termes, et constater que la suite n'est ni arithmétique ni géométrique.
3. Suite auxiliaire : « on pose vₙ = aₙ − 1 500 ; montrer que (vₙ) est géométrique ». On fait le calcul en cinq lignes ci-dessus. Le sujet te donne ℓ : tu n'as pas à le deviner.
4. Formule : « en déduire vₙ, puis aₙ, en fonction de n ».
5. Limite : « déterminer la limite de (aₙ) et l'interpréter ».
6. Seuil : « à partir de quel mois la liste dépasse-t-elle 1 450 abonnés ? », souvent avec un algorithme à compléter (chapitre 8).

Pour la dernière question, la formule donne : 1 500 − 500 × 0,8ⁿ ≥ 1 450 ⟺ 0,8ⁿ ≤ 0,1 ⟺ n ≥ ln(0,1) / ln(0,8) ≈ 10,32 (le sens de l'inégalité change parce que ln(0,8) est négatif : méthode au chapitre 8). Réponse : à partir du 11e mois (a₁₀ ≈ 1 446,31 et a₁₁ ≈ 1 457,05).

Exercices