C'est quoi une suite numérique ?

Une suite numérique est une liste infinie de nombres rangés dans un ordre précis : un premier terme, un deuxième, un troisième, et ainsi de suite, chacun repéré par un entier appelé son rang. Ce chapitre fixe le vocabulaire et les notations, montre les deux façons de définir une suite (par une formule ou par récurrence), et comment la représenter et l'utiliser pour modéliser une situation.

Une liste de nombres numérotés

Chaque lundi, le responsable du support relève le nombre de tickets encore ouverts : 42, puis 38, puis 45, puis 40. Chaque fin de mois, l'administrateur note la place occupée sur un serveur de fichiers. Chaque année, le service comptable calcule la valeur d'un serveur acheté il y a quelques années. Dans les trois cas, une grandeur évolue par étapes, et on range ses valeurs successives dans une liste numérotée : c'est une suite.

On note la suite (uₙ) et chacun de ses nombres uₙ, le terme de rang n (ou d'indice n). Le premier terme est le plus souvent u₀, parfois u₁ quand l'énoncé commence à compter à partir de 1.

Une suite est donc une fonction particulière : à chaque entier naturel n, elle associe un nombre réel uₙ. La différence avec les fonctions que tu connais, c'est que la variable ne prend que des valeurs entières (0, 1, 2…) : il n'y a pas de terme de rang 2,5.

Lire et écrire les indices sans se tromper

Les indices sont la première source d'erreurs. Prends la suite définie par uₙ = 2n + 3 et compare :

Définir une suite par une formule explicite

Une suite est définie de façon explicite quand on calcule chaque terme directement à partir de son rang, avec une formule uₙ = f(n).

Exemple : uₙ = 3n + 2.

• u₀ = 3 × 0 + 2 = 2
• u₁ = 3 × 1 + 2 = 5
• u₅ = 3 × 5 + 2 = 17
• u₁₀₀ = 3 × 100 + 2 = 302

Pour calculer u₁₀₀, on n'a pas besoin des 99 termes précédents : c'est l'avantage d'une formule explicite. C'est aussi ce qui la rend facile à programmer : en Python, une fonction u(n) qui renvoie 3 * n + 2.

Définir une suite par récurrence

Une suite est définie par récurrence quand on donne :

1. son premier terme (la valeur de départ, aussi appelée condition initiale) ;
2. une relation de récurrence, qui dit comment calculer un terme à partir du précédent : uₙ₊₁ = f(uₙ).

Exemple : un dossier partagé occupe 1 000 Go. Chaque mois, la règle d'archivage déplace 10 % de son contenu vers une baie d'archives, et les utilisateurs ajoutent 50 Go de fichiers. En notant uₙ la taille du dossier, en Go, au bout de n mois :

u₀ = 1000
uₙ₊₁ = 0,9 × uₙ + 50

Il reste 90 % du dossier (on multiplie par 0,9), puis on ajoute 50 Go. On calcule les termes de proche en proche :

• u₁ = 0,9 × 1 000 + 50 = 950
• u₂ = 0,9 × 950 + 50 = 905
• u₃ = 0,9 × 905 + 50 = 864,5
• u₄ = 0,9 × 864,5 + 50 = 828,05

Pour obtenir u₁₂, il faut calculer les onze termes qui le précèdent. À la main, c'est long ; une calculatrice, un tableur ou une boucle Python le font en une seconde (u₁₂ ≈ 641,21 Go).

Certaines suites ont les deux définitions. Les suites arithmétiques et géométriques des chapitres 2 et 3 se définissent par récurrence, mais on connaît aussi leur formule explicite, ce qui permet de sauter directement au terme voulu. Le chapitre 7 montre comment obtenir la formule explicite de la suite du dossier partagé.

Calculer des termes avec Python

Ce sont deux programmes séparés. Une suite explicite se programme par une fonction :

# Suite explicite : u(n) = 3n + 2
def u(n):
    return 3 * n + 2

print(u(0), u(5), u(100))      # 2 17 302

Une suite récurrente se programme par une boucle qui remplace la valeur de u par la suivante à chaque tour :

# Suite récurrente : u(0) = 1000 et u(n+1) = 0.9 u(n) + 50
u = 1000
for n in range(1, 5):
    u = 0.9 * u + 50
    print(n, round(u, 2))

1 950.0
2 905.0
3 864.5
4 828.05

La ligne u = 0.9 * u + 50 est une affectation récursive : l'ancienne valeur de u sert à calculer la nouvelle, qui la remplace. Après le tour où n vaut 4, la variable u contient u₄. Le chapitre 8 montre aussi la calculatrice et le tableur.

Représenter une suite par un nuage de points

On représente une suite dans un repère par les points de coordonnées (n ; uₙ) : en abscisse le rang, en ordonnée la valeur du terme. Comme n ne prend que des valeurs entières, on obtient des points isolés, pas une courbe : on ne les relie pas.

Le nuage de points fait voir d'un coup d'œil ce que les calculs montrent terme par terme : la taille du dossier diminue, de moins en moins vite, et semble se rapprocher de 500 Go sans jamais passer en dessous. Le programme te demande justement de savoir lire ce comportement sur un graphique : le sens de variation (chapitre 5) et la limite (chapitre 6).

Modéliser une situation par une suite

Dans un exercice, la suite n'est pas toujours donnée : on te décrit une situation et c'est à toi de l'écrire. La méthode tient en quatre questions.

1. Que mesure uₙ, et dans quelle unité ? Une taille en Go, un coût en euros, un nombre d'abonnés.
2. Que représente n ? Le nombre d'années, de mois ou de semaines écoulés depuis le départ. Note la correspondance : « n = 0 correspond à 2026 ».
3. Quelle est la valeur de départ ? C'est u₀ (ou u₁ si l'énoncé commence à 1).
4. Que se passe-t-il d'une période à la suivante ? On ajoute une quantité, on multiplie par un coefficient, ou les deux.

Exercices

v = 2
for n in range(1, 5):
    v = 3 * v - 1
    print(n, v)

u = 5
for n in range(3):
    u = u * 2
print(u)