12 chapitres2 h 24 minIntermédiaire
Mathématiques approfondies — Fonctions et intégrales
Maths approfondies (EF2) du BTS SIO : dérivées, tableau de variation, exponentielle, ln et log2, limites, primitives, intégrales et exercices corrigés.
Par Josselyn C., prof de BTS SIO. Mis à jour le .
L'essentiel
Une fonction décrit comment une grandeur dépend d'une autre : le coût d'un service selon le nombre d'utilisateurs, la charge d'un serveur selon l'heure, le débit d'une sauvegarde selon le temps. Ce cours t'apprend à étudier une fonction (dérivée, variations, limites), à manier l'exponentielle et les logarithmes, puis à calculer une intégrale, c'est-à-dire une aire, un volume ou une valeur moyenne. C'est, avec les suites numériques, la partie « analyse » de l'épreuve facultative EF2 « Mathématiques approfondies » du BTS SIO, ouverte aux options SLAM et SISR.
À la fin de ce cours, tu sauras :
- lire et étudier les fonctions de référence : affines, second degré, racine carrée, inverse ;
- calculer une dérivée, écrire l'équation d'une tangente et dresser un tableau de variation ;
- trouver un maximum, un minimum ou le nombre de solutions d'une équation ;
- utiliser l'exponentielle et le logarithme népérien, et résoudre une équation dont l'inconnue est en exposant ;
- te servir du logarithme en base 2 pour compter des bits, les étapes d'une recherche dichotomique ou l'entropie d'un mot de passe ;
- déterminer une limite et repérer une asymptote ;
- trouver une primitive, calculer une intégrale, une aire et une valeur moyenne ;
- approcher une solution ou une intégrale en Python et à la calculatrice.
Ce que dit le programme. Le référentiel du BTS SIO (arrêté du 29 avril 2019, modifié notamment par l'arrêté du 8 juillet 2024) compose l'unité de mathématiques approfondies avec des modules du programme de mathématiques des BTS (arrêté du 4 juin 2013, publié au Bulletin officiel n° 27 du 4 juillet 2013). Ce cours en couvre deux :
- Fonctions d'une variable réelle, sans l'item « fonctions sinus et cosinus » et sans les paragraphes « approximation locale d'une fonction » et « courbes paramétrées » : fonctions de référence, dérivation, variations, limites et asymptotes (chapitres 1 à 7), recherche approchée d'une racine par balayage, dichotomie ou méthode de Newton (chapitre 10) ;
- Calcul intégral, sans les primitives de t ↦ cos(ωt + φ) et t ↦ sin(ωt + φ) et sans l'intégration par parties : primitives, intégrale, propriétés, aires, valeur moyenne et méthodes d'approximation (point milieu, trapèzes, Monte-Carlo) (chapitres 8 à 10).
Le programme autorise aussi, « en cas de besoin lié à la spécialité », le logarithme décimal et les exponentielles de base a. En informatique, ce besoin a un nom : le logarithme en base 2 (chapitre 6). Les autres modules de l'EF2 ont leur propre cours : suites numériques, statistiques et probabilités, dont les lois continues reposent sur les intégrales de ce cours.
Prérequis. Le calcul de lycée : développer, factoriser, résoudre une équation du premier degré, manipuler les puissances et les fractions. Le chapitre 10 suppose les bases de Python vues en cours d'algorithmique.
Les notations. Les intervalles s'écrivent à la française, avec un point-virgule : [0 ; 5], ]0 ; +∞[. La dérivée de f se note f′, l'intégrale de f entre a et b se note ∫ₐᵇ f(x) dx. Dans le texte, les nombres décimaux ont une virgule (2,718) ; dans le code Python, un point (2.718). Une valeur approchée est signalée par ≈.
Comment travailler. Refais chaque exemple au brouillon avant de lire la suite : en analyse, on apprend en calculant. Chaque chapitre se termine par des exercices dont la réponse est masquée ; cherche d'abord, ouvre ensuite. Pour contrôler un résultat, ta calculatrice (chapitre 11) ou trois lignes de Python (chapitre 10) suffisent souvent.
| Ton objectif | Chapitres à travailler en priorité |
|---|---|
| Revoir les bases du lycée | 1, 2 et 3 |
| Maîtriser l'exponentielle et les logarithmes | 4, 5 et 6 |
| Comprendre les maths derrière la complexité des algorithmes | 6 et 7 |
| Préparer les intégrales et les lois continues de probabilités | 8 et 9 |
| Programmer les méthodes numériques | 6 et 10 |
| Réviser l'EF2 dans les dernières semaines | 11 et 12 |
Sommaire
Fonctions
0 chapitre sur 12
- Chapitre 1 : Fonctions de référence : affine, second degré, racine carrée, inverse13 min
- Chapitre 2 : Nombre dérivé et calcul de dérivées : les formules11 min
- Chapitre 3 : Étude de fonction : signe de la dérivée et tableau de variation12 min
- Chapitre 4 : La fonction exponentielle : propriétés, dérivée et modèles11 min
- Chapitre 5 : Le logarithme népérien ln : définition et propriétés12 min
- Chapitre 6 : Logarithme en base 2 : bits, dichotomie et complexité11 min
- Chapitre 7 : Limites de fonctions et asymptotes11 min
- Chapitre 8 : Primitives : tableau et méthodes de calcul11 min
- Chapitre 9 : Calcul intégral : intégrale, aire et valeur moyenne11 min
- Chapitre 10 : Méthodes numériques en Python : dichotomie, Newton, trapèzes16 min
- Chapitre 11 : Dérivée et intégrale à la calculatrice : TI et Casio11 min
- Chapitre 12 : Exercices corrigés type EF2 : fonctions et intégrales11 min
Questions fréquentes
C'est quoi une dérivée, simplement ?
Le nombre dérivé f′(a) mesure la vitesse à laquelle f(x) change quand x passe par a : c'est un débit instantané si f est un volume de données, une vitesse si f est une distance. Graphiquement, c'est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse a. Son signe dit si la fonction monte ou descend, ce qui permet de dresser un tableau de variation et de trouver un maximum.
Comment faire un tableau de variation ?
Calcule f′(x), factorise-la, étudie le signe de chaque facteur et rassemble-les dans un tableau de signes. Là où f′(x) > 0, f est croissante (flèche montante) ; là où f′(x) < 0, elle est décroissante. Termine en calculant f aux bornes et aux points où f′ change de signe : ce sont les candidats au maximum et au minimum (la méthode en cinq étapes).
Quelle est la différence entre ln, log et log₂ ?
Ce sont trois logarithmes de bases différentes : ln est le logarithme de base e (≈ 2,718), log ou log₁₀ celui de base 10, log₂ celui de base 2. Ils ont les mêmes propriétés et se convertissent avec ln : log₂ x = ln x / ln 2 et log₁₀ x = ln x / ln 10. Attention en Python : math.log(x) est ln x ; il faut math.log2 ou math.log10 pour les autres bases (logarithme de base a).
À quoi sert le logarithme en informatique ?
Le logarithme en base 2 compte les divisions par deux : c'est le nombre de bits nécessaires pour coder n valeurs (⌈log₂ n⌉), le nombre de comparaisons d'une recherche dichotomique (⌊log₂ n⌋ + 1, soit 20 pour un million d'éléments) et l'ordre de grandeur des algorithmes en O(log n). Il mesure aussi l'entropie d'un mot de passe aléatoire, L × log₂ N bits. Le logarithme décimal, lui, sert aux décibels et au dBm du Wi-Fi (chapitre 6).
Comment résoudre une équation avec une exponentielle ?
Isole l'exponentielle, puis applique ln aux deux membres : eˣ = k donne x = ln k, à condition que k > 0. Pour une inconnue en exposant comme 1,05ⁿ ≥ 2, on écrit n ln 1,05 ≥ ln 2 ; si la base est inférieure à 1, son logarithme est négatif et diviser par lui retourne l'inégalité (calculer un seuil).
C'est quoi une primitive ?
Une primitive de f est une fonction F dont la dérivée est f : F′ = f. Par exemple, x³ est une primitive de 3x², tout comme x³ + 5, puisque deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante. On les trouve avec le tableau des primitives et les formes u′uⁿ, u′/u et u′eᵘ, et on vérifie toujours en dérivant.
Comment calculer une intégrale ?
Trouve une primitive F de f, puis calcule F(b) − F(a) : ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Si f est positive, le résultat est l'aire sous la courbe entre a et b, en unités d'aire. Quand aucune primitive n'est connue, on en calcule une valeur approchée à la calculatrice ou par la méthode des trapèzes, qui se programme en quelques lignes de Python.
Les fonctions et les intégrales sont-elles au programme de l'E3 du BTS SIO ?
Non. L'épreuve obligatoire E3 « Mathématiques pour l'informatique » porte sur l'arithmétique, l'algèbre de Boole, les ensembles, les matrices, les graphes et l'algorithmique. Les fonctions, les dérivées et le calcul intégral relèvent de l'épreuve facultative EF2 « Mathématiques approfondies », avec les suites, les statistiques et les probabilités.
Faut-il passer l'épreuve facultative de maths approfondies ?
Elle ne peut que t'aider : seuls les points au-dessus de 10 comptent pour le diplôme. Le référentiel lui donne pour objectif de préparer à d'éventuelles poursuites d'études : si tu vises une licence, un BUT ou une école d'ingénieurs après le BTS, ces notions d'analyse te seront utiles. C'est un écrit de 2 heures, avec deux ou trois exercices d'analyse et de probabilités ou de statistiques : ses règles sont détaillées dans le cours sur l'épreuve de maths du BTS SIO.
La calculatrice est-elle autorisée, et que peut-elle faire ?
Oui, en mode examen. Une TI-83 Premium CE Edition Python, une Casio Graph 90+E ou une Graph Math+ calculent un nombre dérivé, une intégrale, un maximum ou une solution approchée d'équation (les menus exacts). Elles donnent des valeurs numériques, pas l'expression d'une dérivée ni la justification d'un tableau de variation : ces étapes restent à écrire sur la copie.