Étude de fonction : signe de la dérivée et tableau de variation

Étudier les variations d'une fonction, c'est dire sur quels intervalles elle est croissante ou décroissante. Le résultat clé : si f′(x) > 0 sur un intervalle, f y est strictement croissante ; si f′(x) < 0, elle y est strictement décroissante. Le tableau de variation résume le signe de f′ et les valeurs remarquables de f ; il sert à trouver un maximum ou un minimum, le signe de f et le nombre de solutions d'une équation f(x) = k.

Le lien entre le signe de la dérivée et les variations

Le nombre dérivé est la pente de la tangente. Une pente positive monte, une pente négative descend : le signe de f′ dit dans quel sens va la courbe.

Le résultat ne vaut que sur un intervalle. La fonction inverse a une dérivée −1/x² toujours négative, mais elle n'est pas décroissante sur ℝ \ {0} tout entier (chapitre 1) : elle l'est sur chacun des deux intervalles séparément.

La méthode en cinq étapes

1. L'ensemble d'étude. Donné par l'énoncé, ou l'ensemble de définition.
2. La dérivée. Calcule f′(x) (chapitre 2) et factorise-la.
3. Le signe de f′(x). Étudie le signe de chaque facteur : un facteur affine change de signe en sa racine, un carré et une exponentielle sont positifs, un trinôme suit la règle du signe de a (chapitre 1). Rassemble tout dans un tableau de signes.
4. Le tableau de variation. Une flèche montante où f′ > 0, descendante où f′ < 0.
5. Les valeurs. Calcule f aux bornes et aux points où f′ change de signe, et place-les au bout des flèches.

Un exemple complet

Étudions f(x) = 2x³ − 9x² + 12x − 4 sur [0 ; 3].

Dérivée. f′(x) = 6x² − 18x + 12 = 6(x² − 3x + 2). Le trinôme x² − 3x + 2 a pour discriminant 9 − 8 = 1 et pour racines 1 et 2, donc f′(x) = 6(x − 1)(x − 2).

Signe. 6 > 0 ; le trinôme a un coefficient a = 1 positif, il est positif à l'extérieur des racines. Donc f′(x) > 0 sur [0 ; 1[ et sur ]2 ; 3], f′(x) < 0 sur ]1 ; 2[, et f′ s'annule en 1 et en 2.

Valeurs. f(0) = −4 ; f(1) = 2 − 9 + 12 − 4 = 1 ; f(2) = 16 − 36 + 24 − 4 = 0 ; f(3) = 54 − 81 + 36 − 4 = 5.

Ce tableau répond à beaucoup de questions sans autre calcul :

• le maximum de f sur [0 ; 3] vaut 5, atteint en x = 3 ; le minimum vaut −4, atteint en x = 0 ;
• en x = 1, f a un maximum local (1) : c'est le plus grand f(x) des environs, pas de tout l'intervalle ;
• en x = 2, f a un minimum local (0).

Maximum, minimum et extremum

Un extremum est un maximum ou un minimum. Il est global sur I s'il est le plus grand (ou le plus petit) de tout l'intervalle, local s'il ne l'est qu'au voisinage du point.

Le signe de f et le nombre de solutions de f(x) = k

Le tableau de variation dit aussi combien de fois f prend une valeur k. Le principe : sur un intervalle où f est continue et strictement monotone, f passe une seule fois par chaque valeur comprise entre ses deux valeurs extrêmes.

Les fonctions de ce cours sont continues là où elles sont dérivables : leur courbe se trace sans lever le crayon.

Reprenons f(x) = 2x³ − 9x² + 12x − 4 sur [0 ; 3]. Combien de solutions a l'équation f(x) = 0,5 ?

• sur [0 ; 1], f est strictement croissante de −4 à 1, et 0,5 est entre −4 et 1 : une solution ;
• sur [1 ; 2], f est strictement décroissante de 1 à 0, et 0,5 est entre 0 et 1 : une solution ;
• sur [2 ; 3], f est strictement croissante de 0 à 5 : une solution.

L'équation a donc trois solutions dans [0 ; 3]. Le tableau ne donne pas leurs valeurs : on les approche par balayage, par dichotomie (chapitre 10) ou à la calculatrice (chapitre 11).

Pour le signe de f, on cherche les solutions de f(x) = 0. Ici, on peut les calculer : f(x) = (x − 2)²(2x − 1) (développe pour vérifier). f s'annule en 0,5 et en 2, elle est négative sur [0 ; 0,5[ et positive sur ]0,5 ; 2[ et sur ]2 ; 3]. Le tableau le confirmait : f monte de −4 à 1 en passant par 0 une fois, puis redescend jusqu'à 0 en x = 2 sans passer en dessous.

Optimiser : le coût moyen minimal

Un atelier reconditionne des ordinateurs portables pour les revendre à des PME. Le coût total, en euros, pour x ordinateurs reconditionnés dans la semaine est C(x) = x² + 10x + 900 (x entre 1 et 80). Le terme x² traduit les heures supplémentaires et le stockage, qui coûtent de plus en plus cher quand la production augmente. Combien d'ordinateurs faut-il reconditionner pour que le coût moyen par ordinateur soit le plus bas ?

Le coût moyen vaut CM(x) = C(x)/x = x + 10 + 900/x.

• CM′(x) = 1 − 900/x² = (x² − 900)/x² = (x − 30)(x + 30)/x².
• Sur [1 ; 80], x² > 0 et x + 30 > 0 : CM′(x) a le signe de x − 30. Négatif avant 30, positif après.
• CM est décroissante sur [1 ; 30], croissante sur [30 ; 80] : elle admet un minimum en x = 30, qui vaut CM(30) = 30 + 10 + 30 = 70 €.

Conclusion à rédiger : l'atelier minimise son coût moyen en reconditionnant 30 ordinateurs par semaine, pour un coût de 70 € par ordinateur.

Exercices

Exercice 1 sur 4 Un tableau de variation complet Réussi À revoir

Soit f(x) = x³ − 12x sur [−3 ; 4].

1. Calcule f′(x) et factorise-la.
2. Dresse le tableau de variation de f, avec les valeurs.
3. Donne le maximum et le minimum de f sur [−3 ; 4].
4. Combien l'équation f(x) = 0 a-t-elle de solutions dans [−3 ; 4] ? Calcule-les.

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1. f′(x) = 3x² − 12 = 3(x² − 4) = 3(x − 2)(x + 2).
2. f′(x) > 0 sur [−3 ; −2[ et sur ]2 ; 4], f′(x) < 0 sur ]−2 ; 2[. Valeurs : f(−3) = −27 + 36 = 9 ; f(−2) = −8 + 24 = 16 ; f(2) = 8 − 24 = −16 ; f(4) = 64 − 48 = 16.

x	−3		−2		2		4
f′(x)		+	0	−	0	+
f(x)	9	↗	16	↘	−16	↗	16

3. Maximum : 16, atteint en x = −2 et en x = 4. Minimum : −16, atteint en x = 2.
4. Sur [−3 ; −2], f va de 9 à 16 : pas de solution. Sur [−2 ; 2], f décroît de 16 à −16 : une solution. Sur [2 ; 4], f croît de −16 à 16 : une solution. Donc deux solutions. Calcul : x³ − 12x = x(x² − 12) = 0 donne x = 0, x = √12 ≈ 3,46 ou x = −√12 ≈ −3,46 ; la dernière n'est pas dans [−3 ; 4]. Les solutions sont 0 et 2√3 ≈ 3,46.

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Exercice 2 sur 4 Bénéfice maximal Réussi À revoir

Une jeune entreprise vend des contrats de maintenance informatique. Pour x contrats signés dans le mois (0 ≤ x ≤ 80), son bénéfice, en centaines d'euros, est B(x) = −0,01x³ + 0,6x² + 15x − 200.

1. Calcule B′(x) et vérifie que B′(x) = −0,03(x − 50)(x + 10).
2. Dresse le tableau de variation de B sur [0 ; 80].
3. Combien de contrats faut-il signer pour un bénéfice maximal ? Que vaut-il ?
4. Vérifie que B(10) = 0. Combien de fois le bénéfice s'annule-t-il sur [0 ; 80] ?

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1. B′(x) = −0,03x² + 1,2x + 15. En développant −0,03(x − 50)(x + 10) = −0,03(x² − 40x − 500) = −0,03x² + 1,2x + 15 : c'est bien la même expression.
2. Sur [0 ; 80], x + 10 > 0 et −0,03 < 0 : B′(x) a le signe contraire de x − 50. B′ > 0 sur [0 ; 50[, B′ < 0 sur ]50 ; 80]. B(0) = −200, B(50) = −1 250 + 1 500 + 750 − 200 = 800, B(80) = −5 120 + 3 840 + 1 200 − 200 = −280. B croît de −200 à 800 sur [0 ; 50], puis décroît de 800 à −280 sur [50 ; 80].
3. 50 contrats, pour un bénéfice maximal de 800 centaines d'euros, soit 80 000 €.
4. B(10) = −10 + 60 + 150 − 200 = 0. Sur [0 ; 50], B est strictement croissante de −200 à 800 : elle ne s'annule qu'une fois, en 10. Sur [50 ; 80], elle décroît strictement de 800 à −280 : elle s'annule une fois, vers x ≈ 76,2. Le bénéfice s'annule donc deux fois ; l'entreprise est bénéficiaire entre 10 et environ 76 contrats.

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Exercice 3 sur 4 Lire un tableau de variation Réussi À revoir

Le tableau de variation d'une fonction g définie sur [−5 ; 7] est le suivant :

x	−5		1		7
g(x)	3	↘	−2	↗	4

1. Donne le signe de g′(x) sur [−5 ; 7].
2. Combien de solutions a l'équation g(x) = 0 ? Et g(x) = 3,5 ?
3. Peut-on donner le signe de g(x) pour x entre −5 et 1 ?

Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 3

1. g′(x) ≤ 0 sur [−5 ; 1] (g décroît), g′(x) ≥ 0 sur [1 ; 7] (g croît), avec g′(1) = 0 si g est dérivable en 1.
2. g(x) = 0 : une solution sur [−5 ; 1] (g passe de 3 à −2), une sur [1 ; 7] (de −2 à 4) : deux solutions. g(x) = 3,5 : sur [−5 ; 1], g ne dépasse pas 3 : aucune ; sur [1 ; 7], 3,5 est entre −2 et 4 : une. Une solution.
3. Pas entièrement : g est positive au début (g(−5) = 3), négative à la fin (g(1) = −2), et change de signe en un réel α qu'on ne connaît pas. g(x) > 0 sur [−5 ; α[ et g(x) < 0 sur ]α ; 1].

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Exercice 4 sur 4 Démontrer une inégalité Réussi À revoir

On veut démontrer que pour tout x > 0, x + 1/x ≥ 2.

1. Étudie les variations de g(x) = x + 1/x sur ]0 ; +∞[.
2. Conclus.

Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 4

1. g′(x) = 1 − 1/x² = (x² − 1)/x² = (x − 1)(x + 1)/x². Sur ]0 ; +∞[, x² > 0 et x + 1 > 0 : g′(x) a le signe de x − 1. g est décroissante sur ]0 ; 1], croissante sur [1 ; +∞[.
2. g admet un minimum en 1, qui vaut g(1) = 1 + 1 = 2. Donc pour tout x > 0, g(x) ≥ 2, c'est-à-dire x + 1/x ≥ 2, avec égalité seulement pour x = 1.

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