Limites de fonctions et asymptotes

La limite d'une fonction décrit le comportement de f(x) quand x devient très grand, très petit, ou se rapproche d'une valeur où f n'est pas définie. Graphiquement, une limite finie en l'infini se traduit par une asymptote horizontale, une limite infinie en un point par une asymptote verticale. Ce chapitre donne les limites de référence, les règles de calcul, les formes indéterminées et les croissances comparées.

Limite finie en l'infini : l'asymptote horizontale

Reprenons le coût moyen d'une licence de supervision, CM(n) = 3 + 1 200/n euros par poste (chapitre 1). Quand n devient très grand, 1 200/n devient aussi petit qu'on veut : 0,12 pour 10 000 postes, 0,001 2 pour un million. CM(n) se rapproche de 3.

On écrit lim CM(n) = 3 quand n → +∞. La droite d'équation y = 3 est une asymptote horizontale à la courbe en +∞ : la courbe s'en rapproche autant qu'on veut sans forcément la toucher. Ici, comme 1 200/n > 0, la courbe reste toujours au-dessus.

Limite infinie en un point : l'asymptote verticale

f(x) = 1/(x − 2) n'est pas définie en 2. Quand x se rapproche de 2 par la droite (x > 2), x − 2 est un petit nombre positif et son inverse devient très grand : f(2,01) = 100, f(2,001) = 1 000. Par la gauche, x − 2 est un petit nombre négatif : f(1,99) = −100.

lim f(x) = +∞ quand x → 2 avec x > 2 (on note x → 2⁺) ;
lim f(x) = −∞ quand x → 2 avec x < 2 (x → 2⁻).

La droite x = 2 est une asymptote verticale à la courbe.

f(x) = 2 + 3/(x − 1) : asymptote verticale x = 1 et asymptote horizontale y = 2

Les limites de référence

Fonction	Limite en −∞	Limite en +∞	Limite en 0
xⁿ, n pair (x², x⁴…)	+∞	+∞	0
xⁿ, n impair (x, x³…)	−∞	+∞	0
1/x	0	0	+∞ en 0⁺, −∞ en 0⁻
1/x²	0	0	+∞
√x	non définie	+∞	0
eˣ	0	+∞	1
ln x	non définie	+∞	−∞ en 0⁺

Deux lignes à graver : eˣ tend vers 0 en −∞ (la courbe de exp a pour asymptote horizontale l'axe des abscisses à gauche), et ln x tend vers −∞ en 0⁺ (l'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe de ln).

Les opérations sur les limites

On combine les limites comme on s'y attend, avec les règles de signe pour les infinis : +∞ + 5 = +∞, (−3) × (+∞) = −∞, 7/(+∞) = 0. Quatre cas échappent aux règles : ce sont les formes indéterminées.

La transformation la plus utile : factoriser par le terme qui domine. Pour un polynôme ou un quotient de polynômes en ±∞, c'est le terme de plus haut degré.

lim (x³ − 100x²) en +∞ : forme ∞ − ∞. On factorise : x³ − 100x² = x³(1 − 100/x). Comme 100/x → 0, la parenthèse tend vers 1 et x³ → +∞ : la limite vaut +∞. Un polynôme a la même limite en ±∞ que son terme de plus haut degré.
lim (4x² − x)/(2x² + 1) en +∞ : forme ∞/∞. On factorise en haut et en bas par x² : (4 − 1/x)/(2 + 1/x²) → 4/2 = 2. Asymptote horizontale y = 2.
lim (3x − 1)/(x + 2) en +∞ : (3 − 1/x)/(1 + 2/x) → 3.

Limites de uⁿ, e^u et ln(u)

Pour une fonction composée, on calcule d'abord la limite de l'intérieur, puis on applique la fonction extérieure :

lim e^(−2x) en +∞ : −2x → −∞, et eᵀ → 0 quand T → −∞, donc la limite vaut 0 ;
lim ln(1 + 1/x) en +∞ : 1 + 1/x → 1, et ln 1 = 0, donc 0 ;
lim (2x − 1)³ en −∞ : 2x − 1 → −∞, et T³ → −∞, donc −∞ ;
lim e^(1/x) en 0⁺ : 1/x → +∞, donc +∞.

Les croissances comparées

Que vaut la limite de eˣ / x en +∞ ? Les deux termes tendent vers +∞ : forme indéterminée. Le résultat dépend de qui grandit le plus vite.

C'est la version mathématique du classement des complexités du chapitre 6 : log n ≪ n ≪ n² ≪ 2ⁿ. Un algorithme qui fait de l'ordre de 2ⁿ opérations finit toujours par être plus lent qu'un algorithme qui en fait de l'ordre de n¹⁰, et un algorithme en log n opérations finit toujours par battre un algorithme en √n opérations, quelles que soient les constantes.

Le programme demande de déterminer des limites « simples » et précise que toute étude de branche infinie doit être guidée par l'énoncé : un sujet qui a besoin d'une croissance comparée te met sur la voie. Ces résultats te servent surtout à comprendre une courbe et à vérifier tes calculs.

L'asymptote oblique

Quand f(x) tend vers l'infini en +∞, la courbe peut quand même se rapprocher d'une droite non horizontale.

Soit f(x) = 2x + 1 + 3/x sur ]0 ; +∞[. Alors f(x) − (2x + 1) = 3/x → 0 en +∞ : la droite y = 2x + 1 est asymptote oblique. Comme 3/x > 0, la courbe est au-dessus de son asymptote. Et comme 3/x → +∞ quand x → 0⁺, l'axe des ordonnées (x = 0) est asymptote verticale.

Dans un sujet, l'équation de l'asymptote oblique est en général donnée : on te demande de la vérifier avec la limite, puis d'étudier la position.

Compléter un tableau de variation avec les limites

Étudions f(x) = x e⁻ˣ sur [0 ; +∞[.

f′(x) = e⁻ˣ − x e⁻ˣ = (1 − x)e⁻ˣ, du signe de 1 − x : f croît sur [0 ; 1], décroît sur [1 ; +∞[.
f(0) = 0, f(1) = e⁻¹ ≈ 0,368.
En +∞ : croissance comparée, lim x e⁻ˣ = 0.

Le tableau se termine par une flèche qui descend de 1/e vers 0, et l'axe des abscisses est asymptote horizontale en +∞. Une fonction de cette forme modélise un pic suivi d'un retour au calme : la charge d'un serveur après l'envoi d'une campagne d'e-mails, par exemple (chapitre 12).