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Mathématiques approfondies — Statistiques
Cours de statistiques du BTS SIO (EF2) : moyenne, médiane, écart type, quartiles, nuage de points, moindres carrés, corrélation et exercices corrigés.
Par Josselyn C., prof de BTS SIO. Mis à jour le .
L'essentiel
La statistique descriptive sert à résumer une série de données par quelques nombres et un graphique bien choisis : une moyenne ou une médiane pour dire autour de quoi les valeurs se placent, un écart type ou des quartiles pour dire à quel point elles s'écartent, un nuage de points et une droite pour relier deux mesures. En informatique, tu en fais tous les jours sans le dire : temps de réponse d'une application, durée des tickets, volume des journaux, charge d'un serveur. Au BTS SIO, ce cours prépare la partie « statistique descriptive » de l'épreuve facultative de mathématiques approfondies.
À la fin de ce cours, tu sauras :
- décrire une série statistique par un tableau, un diagramme en bâtons ou un histogramme ;
- calculer et interpréter moyenne, médiane, quartiles, écart interquartile, variance et écart type ;
- comparer deux séries et choisir les indicateurs qui répondent à la question posée ;
- représenter une série à deux variables, placer son point moyen et calculer une covariance ;
- trouver la droite des moindres carrés, à la main et avec un outil, et t'en servir pour prévoir ;
- interpréter un coefficient de corrélation sans le confondre avec une relation de cause à effet ;
- réaliser un ajustement exponentiel par le changement de variable z = ln y ;
- faire tous ces calculs à la calculatrice, dans un tableur et en Python.
Ce que dit le programme. Le module « Statistique descriptive » du programme de mathématiques des BTS (arrêté du 4 juin 2013, publié au Bulletin officiel n° 27 du 4 juillet 2013) fait partie de l'unité de mathématiques approfondies du référentiel du BTS SIO (arrêté du 29 avril 2019 modifié). Il a deux parties. La série à une variable réactive le lycée : représentations, médiane et moyenne, étendue, écart interquartile et écart type, interprétés pour une série ou pour comparer deux séries (chapitres 1 à 5) ; le programme précise qu'« aucun cours spécifique n'est donc attendu », mais tu dois savoir faire. La série à deux variables est le cœur du module : nuage de points et point moyen, ajustement affine par la méthode des moindres carrés, ajustement « se ramenant, par un changement de variable simple donné, à un ajustement affine », interpolation et extrapolation, coefficient de corrélation linéaire pour comparer deux ajustements (chapitres 6 à 9). Le programme demande d'utiliser un logiciel ou une calculatrice (chapitres 10 et 11) et de distinguer une liaison entre deux variables d'une relation de cause à effet.
Les lois de probabilité (binomiale, normale, exponentielle…) appartiennent aux modules de probabilités du même programme : elles sont traitées dans le cours de probabilités, pas ici. Les deux se rejoignent souvent dans un même sujet : une série de mesures d'abord résumée, puis modélisée par une loi.
Prérequis. Le calcul de collège (fractions, pourcentages, racine carrée) et l'équation d'une droite y = ax + b. Le chapitre 9 utilise les fonctions logarithme népérien et exponentielle, vues dans le cours de fonctions. Le chapitre 11 suppose les bases de Python.
Les notations. Une série a N valeurs, notées x₁, x₂, x₃… jusqu'à la N-ième. Quand elle est donnée par un tableau, la valeur xᵢ a l'effectif nᵢ. Σ (« sigma ») se lit « somme de » : Σ nᵢxᵢ est la somme des produits nᵢ × xᵢ. x̄ (« x barre ») est la moyenne des x, ȳ celle des y, σ (« sigma minuscule ») l'écart type. Les nombres à virgule s'écrivent avec une virgule dans le texte (73,8) et avec un point dans le code (73.8).
Comment travailler. Fais chaque calcul au brouillon avant de lire la solution, puis vérifie-le avec ta calculatrice : les deux gestes comptent le jour de l'épreuve. Les données des exemples viennent du parc et du réseau de Sorbier Logistique, l'entreprise fil rouge du site : durées d'intervention de la base parc, mesures de supervision de Zabbix, volume des journaux de Wazuh. Chaque chapitre se termine par des exercices dont la réponse est masquée ; cherche d'abord, ouvre ensuite.
| Ton objectif | Chapitres à travailler en priorité |
|---|---|
| Revoir les statistiques du lycée | 1 à 4 |
| Analyser des mesures de supervision ou des tickets | 2 à 5, puis 11 |
| Comprendre la droite de régression | 6 à 8 |
| Prévoir la saturation d'un stockage | 7 et 9 |
| Préparer l'EF2 | 1 à 10 (le cœur du module : 6 à 9), puis 12 |
| Réviser la veille de l'épreuve | 12 et 13 |
Sommaire
Statistiques
0 chapitre sur 13
- Chapitre 1 : Série statistique : effectifs, fréquences et graphiques12 min
- Chapitre 2 : Moyenne, médiane et mode11 min
- Chapitre 3 : Quartiles, déciles et boîte à moustaches12 min
- Chapitre 4 : Variance et écart type : calcul et interprétation10 min
- Chapitre 5 : Comparer deux séries et choisir ses indicateurs9 min
- Chapitre 6 : Statistiques à deux variables : nuage de points et point moyen11 min
- Chapitre 7 : Ajustement affine par la méthode des moindres carrés12 min
- Chapitre 8 : Coefficient de corrélation linéaire et causalité10 min
- Chapitre 9 : Ajustement exponentiel par changement de variable10 min
- Chapitre 10 : Statistiques à la calculatrice : TI-83 Premium CE et Casio10 min
- Chapitre 11 : Statistiques avec un tableur et en Python17 min
- Chapitre 12 : Exercices corrigés de statistiques type EF212 min
- Chapitre 13 : Aide-mémoire de statistiques7 min
Questions fréquentes
C'est quoi la statistique descriptive ?
La statistique descriptive regroupe les méthodes qui résument une série de données par des tableaux, des graphiques et quelques indicateurs : une moyenne ou une médiane pour la position, un écart type ou des quartiles pour la dispersion, une droite d'ajustement pour relier deux variables. Elle décrit les données observées, sans chercher à en tirer des conclusions sur une population plus large, ce qui est l'objet de la statistique inférentielle. En informatique, elle sert à lire des mesures de supervision, des durées de tickets ou des volumes de journaux (série statistique et vocabulaire).
Quelle est la différence entre la moyenne et la médiane ?
La moyenne est la somme des valeurs divisée par leur nombre ; la médiane est la valeur qui partage la série rangée en deux moitiés. La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, la médiane ne l'est pas : une seule page qui met 10 secondes à s'afficher fait grimper la moyenne de la journée, pas la médiane. Pour des durées, des tailles de fichiers ou des temps de réponse, la médiane décrit mieux le cas habituel (moyenne ou médiane).
Comment calculer les quartiles d'une série ?
Range la série dans l'ordre croissant. Le premier quartile Q1 est la valeur de rang N ÷ 4, arrondi à l'entier supérieur s'il n'est pas entier ; le troisième quartile Q3, celle de rang 3N ÷ 4. Pour 17 valeurs, Q1 est la 5e et Q3 la 13e. Les calculatrices et les tableurs utilisent parfois une autre définition et peuvent donner des résultats un peu différents sur une petite série (quartiles et boîte à moustaches).
Comment calculer un écart type ?
Calcule la moyenne x̄, puis la moyenne des carrés des écarts à la moyenne, (xᵢ − x̄)² : c'est la variance V. L'écart type est sa racine carrée, σ = √V. À la main, la formule V = (moyenne des carrés) − x̄² est plus rapide ; à la calculatrice, c'est la ligne σx de l'écran des statistiques à une variable (variance et écart type).
Pourquoi divise-t-on parfois par n − 1 pour l'écart type ?
L'écart type σ divise par n : c'est celui d'une série statistique, utilisé en statistique descriptive. L'écart type s divise par n − 1 : il sert quand la série est un échantillon dont on veut estimer la dispersion dans une population plus grande, parce que diviser par n la sous-estimerait en moyenne. Les calculatrices affichent les deux (σx et Sx), le tableur aussi (ECARTYPE.PEARSON et ECARTYPE.STANDARD dans Excel) : sauf mention contraire, prends σ (σ ou s).
C'est quoi la méthode des moindres carrés ?
C'est la méthode qui choisit, parmi toutes les droites, celle qui rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux entre les points du nuage et la droite. Elle donne une droite unique, y = ax + b, avec a = cov(x, y) ÷ V(x) et b = ȳ − a x̄, qui passe par le point moyen G. On l'appelle aussi droite de régression de y en x (ajustement affine par les moindres carrés).
Comment trouver l'équation de la droite de régression à la calculatrice ?
Saisis les x dans une liste et les y dans une autre. Sur une TI-83 Premium CE, va dans stats, CALC, 4:RégLin(ax+b) (et règle STAT DIAGNOSTICS sur AFF dans mode pour voir r). Sur une Casio Graph 90+E, dans le menu Statistique, fais CALC, REG, X, ax+b. La calculatrice affiche a, b et le coefficient de corrélation r (statistiques à la calculatrice).
Comment interpréter le coefficient de corrélation ?
Le coefficient de corrélation linéaire r est compris entre −1 et 1. Proche de 1, les points sont presque alignés sur une droite montante ; proche de −1, sur une droite descendante ; proche de 0, il n'y a pas de tendance affine, ce qui n'exclut pas un lien d'une autre forme. Il ne mesure que la force de la liaison affine : trace toujours le nuage, et ne conclus pas à une cause (coefficient de corrélation).
Corrélation et causalité : quelle différence ?
Une corrélation dit que deux grandeurs varient ensemble ; une causalité dit que l'une agit sur l'autre. Une forte corrélation peut venir d'un facteur caché qui agit sur les deux (l'activité de l'entreprise fait monter à la fois les connexions VPN et les alertes de sécurité), d'une cause dans l'autre sens, ou d'une coïncidence. Seule une expérience contrôlée, qui fait varier une seule chose à la fois, permet d'établir une cause (corrélation n'est pas causalité).
Les statistiques sont-elles au programme de l'E3 du BTS SIO ?
Non. L'épreuve obligatoire E3, « Mathématiques pour l'informatique », porte sur l'arithmétique, le calcul matriciel, l'algèbre de Boole, les ensembles, les graphes et l'ordonnancement, et l'algorithmique appliquée (cours Épreuve E3). La statistique descriptive fait partie de l'épreuve facultative EF2, « Mathématiques approfondies », un écrit de 2 heures où seuls les points au-dessus de 10 comptent (exercices type EF2).