Chapitre 211 minIntermédiaire
Moyenne, médiane et mode
Par Josselyn C., prof de BTS SIO. Mis à jour le .
À la fin de ce chapitre, tu sauras
- calculer une moyenne simple, pondérée ou à partir de classes ;
- trouver la médiane d'une série brute, d'un tableau ou d'une série en classes ;
- repérer le mode et la classe modale ;
- choisir entre moyenne et médiane quand la série a des valeurs extrêmes.
5 exercices corrigés1 schéma
La moyenne d'une série est la somme de ses valeurs divisée par leur nombre ; la médiane est la valeur qui partage la série rangée dans l'ordre croissant en deux moitiés de même effectif ; le mode est la valeur la plus fréquente. Ce sont les trois indicateurs de position : ils disent autour de quoi les valeurs se placent. Ce chapitre montre comment les calculer sur une série brute, un tableau d'effectifs ou une série en classes, et comment choisir entre moyenne et médiane.
La moyenne
Pour une série brute de N valeurs :
x̄ = (x₁ + x₂ + … + x_N) / N
Quand la série est donnée par un tableau d'effectifs, chaque valeur xᵢ compte nᵢ fois : c'est une moyenne pondérée.
x̄ = (n₁x₁ + n₂x₂ + … + nₚxₚ) / N = Σ nᵢxᵢ / N
Pour les tickets du chapitre 1 :
Σ nᵢxᵢ = 1×0 + 3×1 + 5×2 + 6×3 + 3×4 + 1×5 + 1×6
= 0 + 3 + 10 + 18 + 12 + 5 + 6 = 54
x̄ = 54 / 20 = 2,7 tickets par jour
Avec les fréquences, on n'a même pas besoin de N : x̄ = Σ fᵢxᵢ = 0 × 0,05 + 1 × 0,15 + 2 × 0,25 + 3 × 0,30 + 4 × 0,15 + 5 × 0,05 + 6 × 0,05 = 2,7.
Une moyenne de 2,7 tickets n'est la valeur d'aucun jour : c'est normal. Elle sert à comparer (2,7 tickets par jour ce mois-ci contre 3,4 le mois dernier) et à prévoir une charge (2,7 × 220 jours ≈ 594 tickets par an).
Avec des classes, on ne connaît pas les valeurs exactes : on remplace chaque classe par son centre. Pour les 288 temps de réponse :
Σ nᵢcᵢ = 36×50 + 132×150 + 72×250 + 36×400 + 12×750
= 1 800 + 19 800 + 18 000 + 14 400 + 9 000 = 63 000
x̄ ≈ 63 000 / 288 ≈ 218,75 ms, soit environ 219 ms
C'est une valeur approchée : elle suppose que les valeurs de chaque classe se répartissent autour du centre.
La moyenne de plusieurs groupes est la moyenne de leurs moyennes pondérée par leurs effectifs, jamais leur moyenne simple. Si le siège a traité 120 tickets en 35 min en moyenne et l'entrepôt de Mâcon 30 tickets en 60 min, la durée moyenne de l'ensemble est (120 × 35 + 30 × 60) ÷ 150 = 6 000 ÷ 150 = 40 min, et non (35 + 60) ÷ 2 = 47,5 min. C'est le même piège qu'en SQL avec AVG sur des moyennes (le piège de la moyenne des moyennes).
La médiane
La médiane Me partage la série rangée dans l'ordre croissant en deux moitiés : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.
- Si N est impair, c'est la valeur du milieu, de rang (N + 1) ÷ 2.
- Si N est pair, c'est la moyenne des valeurs de rangs N ÷ 2 et N ÷ 2 + 1.
Voici les durées des 17 interventions enregistrées dans la base parc, en minutes, rangées :
10, 15, 15, 20, 30, 35, 40, 45, 55, 60, 60, 90, 90, 120, 150, 180, 240
N = 17 est impair : la médiane est la valeur de rang (17 + 1) ÷ 2 = 9, soit Me = 55 min. La moyenne vaut 1 255 ÷ 17 ≈ 73,8 min. Huit interventions sur dix-sept ont duré moins de 50 minutes, mais quelques très longues (le rançongiciel d'octobre a coûté 240, 180 et 150 minutes) tirent la moyenne vers le haut. La médiane décrit mieux l'intervention « typique ».
Avec un tableau d'effectifs, on lit la médiane dans les effectifs cumulés. Pour les 20 jours de tickets, N est pair : la médiane est la moyenne des valeurs de rangs 10 et 11. L'effectif cumulé vaut 9 pour 2 tickets et 15 pour 3 tickets : les jours de rangs 10 à 15 ont tous 3 tickets. Donc Me = (3 + 3) ÷ 2 = 3.
Avec des classes, on cherche d'abord la classe médiane, celle où l'effectif cumulé dépasse N ÷ 2, puis on suppose les valeurs régulièrement réparties dans la classe : c'est une interpolation linéaire. Pour les 288 temps de réponse, N ÷ 2 = 144. L'effectif cumulé vaut 36 à 100 ms et 168 à 200 ms : la médiane est dans [100 ; 200[. Il faut avancer de 144 − 36 = 108 individus sur les 132 de la classe :
Me ≈ 100 + 100 × (144 − 36) / 132 ≈ 100 + 81,8 ≈ 181,8 ms
Graphiquement, c'est l'abscisse du point d'ordonnée 50 % du polygone des fréquences cumulées croissantes, qui relie les points (borne supérieure de chaque classe ; fréquence cumulée). Le même graphique donne les quartiles, à 25 % et 75 % (chapitre 3).
Le mode
Le mode est la valeur de plus grand effectif. Pour les tickets, c'est 3 (6 jours sur 20). Une série peut avoir plusieurs modes : les durées d'intervention en ont trois, 15, 60 et 90 minutes, présentes deux fois chacune, ce qui ne dit pas grand-chose sur une si petite série de durées.
Pour une série en classes de même amplitude, on parle de classe modale : celle de plus grand effectif. Si les amplitudes diffèrent, c'est la classe de plus grande hauteur dans l'histogramme. Pour les temps de réponse, c'est [100 ; 200[ dans les deux cas.
Le mode est surtout utile pour un caractère qualitatif, où ni moyenne ni médiane n'existent : la catégorie de tickets la plus fréquente, le navigateur le plus utilisé.
Moyenne ou médiane ?
La moyenne utilise toutes les valeurs, ce qui la rend sensible aux valeurs extrêmes ; la médiane n'utilise que leur rang, ce qui la rend robuste. Une seule page qui met 10 secondes à répondre fait bondir la moyenne de la journée, pas la médiane.
| Situation | Indicateur à privilégier | Pourquoi |
|---|---|---|
| Série à peu près symétrique, sans valeur extrême | Moyenne | Elle utilise toute l'information et se prête aux calculs (totaux, prévisions) |
| Durées, tailles de fichiers, temps de réponse, salaires | Médiane | Beaucoup de petites valeurs et quelques très grandes : la moyenne est tirée vers le haut |
| Calcul d'un total ou d'un budget | Moyenne | Total = moyenne × effectif ; la médiane ne le permet pas |
| Valeur « typique » à annoncer à un utilisateur | Médiane | La moitié des cas fait mieux, la moitié fait moins bien |
| Caractère qualitatif | Mode | C'est le seul des trois qui existe |
Exercices
Exercice 1 sur 5 Les incidents par semaine Réussi À revoir
Reprends le tableau de l'exercice « Tableau des incidents » du chapitre 1 (25 semaines, de 0 à 5 incidents, d'effectifs 3, 6, 9, 4, 2 et 1).
- Calcule le nombre moyen d'incidents par semaine.
- Détermine la médiane et le mode.
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 1
- Σ nᵢxᵢ = 3 × 0 + 6 × 1 + 9 × 2 + 4 × 3 + 2 × 4 + 1 × 5 = 0 + 6 + 18 + 12 + 8 + 5 = 49, donc x̄ = 49 ÷ 25 = 1,96 incident par semaine.
- N = 25 est impair : la médiane est la valeur de rang 13. Les effectifs cumulés valent 3, 9, 18… : les rangs 10 à 18 valent 2, donc Me = 2. Le mode est aussi 2 (9 semaines).
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Exercice 2 sur 5 Les pièces jointes refusées Réussi À revoir
Reprends les 200 pièces jointes de l'exercice « Un histogramme à classes inégales » : [0 ; 1[ : 120, [1 ; 2[ : 45, [2 ; 5[ : 30, [5 ; 10[ : 5.
- Calcule une valeur approchée de la taille moyenne.
- Calcule la médiane par interpolation linéaire.
- Compare moyenne et médiane, et explique l'écart.
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 2
- Centres : 0,5 ; 1,5 ; 3,5 ; 7,5. Σ nᵢcᵢ = 120 × 0,5 + 45 × 1,5 + 30 × 3,5 + 5 × 7,5 = 60 + 67,5 + 105 + 37,5 = 270, donc x̄ ≈ 270 ÷ 200 = 1,35 Mo.
- N ÷ 2 = 100. L'effectif cumulé atteint 120 dès la première classe : la médiane est dans [0 ; 1[. Me ≈ 0 + 1 × (100 − 0) ÷ 120 ≈ 0,83 Mo.
- La moyenne est plus grande que la médiane : la plupart des pièces jointes sont petites, mais quelques-unes, entre 2 et 10 Mo, tirent la moyenne vers le haut. La moitié des pièces jointes refusées font moins de 0,83 Mo environ.
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Exercice 3 sur 5 Deux sites, une moyenne Réussi À revoir
En octobre, le siège a clôturé 120 tickets avec une durée moyenne de 35 minutes, et l'entrepôt de Mâcon 30 tickets avec une durée moyenne de 60 minutes. Le directeur annonce une durée moyenne de 47,5 minutes. A-t-il raison ?
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 3
Non : il a fait la moyenne simple des deux moyennes, comme si les deux sites avaient le même nombre de tickets. La durée totale est 120 × 35 + 30 × 60 = 4 200 + 1 800 = 6 000 minutes pour 150 tickets, soit 40 minutes en moyenne. Le siège, qui a quatre fois plus de tickets, pèse quatre fois plus.
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Exercice 4 sur 5 Une page très lente Réussi À revoir
Voici dix temps de chargement de l'intranet, en secondes : 1,2 ; 1,4 ; 1,1 ; 1,3 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,3 ; 1,2 ; 1,4 ; 9,8.
- Calcule la moyenne et la médiane.
- Recalcule-les sans la valeur 9,8. Que constates-tu ?
- Quel indicateur annoncer aux utilisateurs ?
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 4
- Somme : 21,4, donc x̄ = 2,14 s. Rangées : 1,1 ; 1,2 ; 1,2 ; 1,2 ; 1,3 ; 1,3 ; 1,4 ; 1,4 ; 1,5 ; 9,8. N = 10 est pair : Me = (1,3 + 1,3) ÷ 2 = 1,3 s.
- Sans 9,8 : somme 11,6 pour 9 valeurs, x̄ ≈ 1,29 s ; la médiane, de rang 5, vaut toujours 1,3 s. Une seule valeur a fait passer la moyenne de 1,29 à 2,14 s, sans toucher à la médiane.
- La médiane : « la moitié des pages se chargent en moins de 1,3 s ». La valeur 9,8 s mérite une enquête à part (un délai d'attente, une sauvegarde en cours ?), pas d'être noyée dans une moyenne.
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Exercice 5 sur 5 Mesures depuis Mâcon Réussi À revoir
Depuis le siège, les temps de réponse d'une application ont une moyenne de 0,184 s et une médiane de 0,170 s. Depuis l'entrepôt de Mâcon, chaque requête traverse en plus le tunnel IPsec, qui ajoute 18 ms à toutes les mesures. Donne, en millisecondes, la moyenne et la médiane mesurées depuis Mâcon.
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 5
En millisecondes, au siège : moyenne 184 ms, médiane 170 ms. Ajouter 18 ms à chaque valeur ajoute 18 ms à la moyenne et décale la médiane d'autant, puisque l'ordre des valeurs ne change pas. À Mâcon : moyenne 202 ms, médiane 188 ms.
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