Variance et écart type : calcul et interprétation

L'écart type σ d'une série mesure la dispersion des valeurs autour de leur moyenne : c'est la racine carrée de la variance, elle-même moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Plus il est grand, plus les valeurs s'éloignent de la moyenne. Ce chapitre donne la définition, la méthode de calcul pas à pas, la formule de König-Huygens, la différence entre σ et s que tu verras sur tous les outils, et la façon d'interpréter un écart type.

L'étendue

L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : 240 − 10 = 230 min pour les interventions. Elle se calcule de tête, mais elle ne dépend que des deux valeurs extrêmes : une seule mesure aberrante suffit à la faire exploser. On veut un indicateur qui tienne compte de toutes les valeurs.

La variance

Première idée : faire la moyenne des écarts à la moyenne, xᵢ − x̄. Elle vaut toujours 0 : les écarts positifs compensent exactement les négatifs. On fait donc la moyenne des carrés des écarts, toujours positifs.

Exemple : six temps de réponse d'un serveur, en millisecondes : 120, 135, 128, 142, 131, 124. Leur moyenne est 780 ÷ 6 = 130 ms.

V = 310 ÷ 6 ≈ 51,67 ms² et σ = √51,67 ≈ 7,19 ms. La somme des écarts vaut bien 0, ce qui vérifie la moyenne.

La variance s'exprime en unités au carré (des ms²), ce qui ne parle à personne : c'est pour cela qu'on revient à l'unité de départ avec la racine carrée.

La formule de König-Huygens

Quand la moyenne n'est pas un nombre rond, calculer chaque écart est pénible. On utilise alors :

Pour les six temps de réponse : Σ xᵢ² = 14 400 + 18 225 + 16 384 + 20 164 + 17 161 + 15 376 = 101 710, donc V = 101 710 ÷ 6 − 130² ≈ 16 951,67 − 16 900 = 51,67. On retrouve le même résultat.

Avec un tableau d'effectifs, pour les 20 jours de tickets (x̄ = 2,7) :

Σ nᵢxᵢ² = 1×0² + 3×1² + 5×2² + 6×3² + 3×4² + 1×5² + 1×6²
        = 0 + 3 + 20 + 54 + 48 + 25 + 36 = 186
V = 186 / 20 − 2,7² = 9,3 − 7,29 = 2,01
σ = √2,01 ≈ 1,42 ticket

Avec des classes, on prend les centres, comme pour la moyenne : pour les 288 temps de réponse, on trouve σ ≈ 148 ms (valeur approchée).

Pour les 17 interventions (x̄ ≈ 73,82 min) : Σ xᵢ² = 160 025, donc V = 160 025 ÷ 17 − 73,82² ≈ 3 963 et σ ≈ 63,0 min.

Lire un écart type

Un écart type se lit par rapport à la moyenne et dans l'unité des valeurs. Deux serveurs peuvent avoir le même temps de réponse moyen, 40 ms, et se comporter très différemment :

Le serveur A est régulier : presque toutes ses réponses sont à quelques millisecondes de 40. Le serveur B est imprévisible : un utilisateur peut attendre cinq fois plus longtemps qu'un autre. Pour une application interactive, A est préférable, alors que la moyenne ne les distingue pas.

Pour une série « en cloche », à peu près symétrique, environ deux tiers des valeurs sont dans [x̄ − σ ; x̄ + σ] et environ 95 % dans [x̄ − 2σ ; x̄ + 2σ] : c'est le comportement de la loi normale, étudiée dans le cours de probabilités. Pour une série dissymétrique, cette lecture ne marche plus : pour les interventions, x̄ − 2σ ≈ 73,8 − 125,9 = −52 minutes, une durée impossible. C'est le signe qu'il vaut mieux résumer cette série par sa médiane et ses quartiles.

Pour comparer la dispersion de séries de moyennes très différentes, on rapporte parfois l'écart type à la moyenne : c'est le coefficient de variation σ ÷ x̄ (hors programme, mais courant). Serveur A : 2,3 ÷ 40 ≈ 6 % ; serveur B : 16,4 ÷ 40 ≈ 41 %.

σ ou s : diviser par N ou par N − 1 ?

Tu verras deux écarts types sur tous les outils :

• σ divise par N : c'est l'écart type de la série elle-même, celui de la statistique descriptive et de ce cours ;
• s divise par N − 1 : il sert quand la série est un échantillon et qu'on veut estimer la dispersion d'une population plus grande ; diviser par N sous-estimerait en moyenne cette dispersion. C'est une question de statistique inférentielle, qui n'est pas au programme de l'EF2.

Pour les valeurs 4, 7, 7, 9 et 13 (moyenne 8, somme des carrés des écarts 44) : σ = √(44 ÷ 5) ≈ 2,97 et s = √(44 ÷ 4) ≈ 3,32.

Changement d'unité et décalage

Si chaque valeur est transformée en yᵢ = a × xᵢ + b :

• la moyenne devient ȳ = a x̄ + b ;
• l'écart type devient σ_y = |a| × σ_x, et la variance V_y = a² × V_x.

Ajouter une constante décale toute la série sans changer sa dispersion : les 18 ms du tunnel vers Mâcon ne changent pas l'écart type des temps de réponse. Passer des secondes aux millisecondes multiplie l'écart type par 1 000 et la variance par 1 000 000.

Exercices