Chapitre 910 minIntermédiaire
Ajustement exponentiel par changement de variable
Par Josselyn C., prof de BTS SIO. Mis à jour le .
À la fin de ce chapitre, tu sauras
- reconnaître un nuage qui appelle un ajustement non affine ;
- réaliser un ajustement affine après le changement de variable donné ;
- revenir à une relation de la forme y = k × qˣ et l'interpréter ;
- prévoir une date de saturation et comparer deux modèles avec r.
3 exercices corrigés1 schéma
Quand le nuage de points suit une courbe plutôt qu'une droite, on peut souvent se ramener à un ajustement affine par un changement de variable : on remplace y (ou x) par une fonction de y (ou de x), par exemple z = ln y, on ajuste z en x par la méthode des moindres carrés, puis on revient à y. Avec z = ln y, on obtient un ajustement exponentiel, le modèle d'une croissance à pourcentage constant. Le programme demande de « réaliser un ajustement se ramenant, par un changement de variable simple donné, à un ajustement affine » : l'énoncé te donne le changement de variable, tu dois savoir le mener jusqu'au bout.
Quand une droite ne suffit pas
Dans le laboratoire de test de Sorbier Logistique, la machine virtuelle srv-journaux héberge un Wazuh où l'équipe inscrit peu à peu de nouveaux agents (cours Wazuh). Le volume de ses index (les journaux de sécurité collectés) a été relevé à la fin de chaque mois, depuis mars 2026 (x = 1) :
| Mois xᵢ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Volume yᵢ (Go) | 10,0 | 11,3 | 12,5 | 14,1 | 15,8 | 17,6 | 19,8 | 22,2 |
Le disque de la VM fait 64 Go, et la supervision du laboratoire alerte à 75 % de remplissage, soit 48 Go. Quand l'alerte se déclenchera-t-elle ?
Un ajustement affine donne y = 1,725x + 7,65 avec r ≈ 0,9933. Ce r semble excellent, mais trois indices disent qu'une droite décrit mal ces données :
- les accroissements augmentent : +1,3 Go le deuxième mois, puis +1,2, +1,6, +1,7, +1,8, +2,2 et +2,4 ;
- les rapports sont presque constants : 11,3 ÷ 10 = 1,13 ; 12,5 ÷ 11,3 ≈ 1,11 ; 14,1 ÷ 12,5 ≈ 1,13 … ; 22,2 ÷ 19,8 ≈ 1,12. Le volume augmente d'environ 12 % par mois, comme une suite géométrique (cours sur les suites) ;
- les écarts à la droite ont une forme : positifs aux deux bouts (+0,63 et +0,75), négatifs au milieu (jusqu'à −0,48). Les points dessinent un arc au-dessus et au-dessous de la droite : la courbure n'est pas due au hasard.
La méthode : z = ln y
Si y augmente d'un pourcentage constant, y = k × qˣ. En prenant le logarithme népérien, ln y = ln k + x × ln q : ln y est une fonction affine de x. D'où la méthode :
- Calcule z = ln y pour chaque point (la fonction ln est présentée dans le cours de fonctions).
- Ajuste z en x par la méthode des moindres carrés : z = ax + b.
- Reviens à y : y = eᶻ = e^(ax + b) = eᵇ × (eᵃ)ˣ, soit y = k × qˣ avec k = eᵇ et q = eᵃ.
- Interprète : q − 1 est le taux de croissance par unité de x.
L'exemple pas à pas
Étape 1. On calcule z = ln y, arrondi à 10⁻⁴ :
| Mois xᵢ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| zᵢ = ln yᵢ | 2,3026 | 2,4248 | 2,5257 | 2,6462 | 2,7600 | 2,8679 | 2,9857 | 3,1001 |
Étape 2. À la calculatrice, l'ajustement affine de z en x donne, avec des coefficients arrondis à 10⁻³ :
z = 0,113x + 2,191 r ≈ 0,9999
Étape 3. On revient à y :
y = e^(0,113x + 2,191) = e^2,191 × (e^0,113)^x ≈ 8,94 × 1,12^x
Étape 4. q ≈ 1,12 : le volume des index augmente d'environ 12 % par mois. Il double en ln 2 ÷ 0,113 ≈ 6,1 mois.
La prévision. L'alerte se déclenche quand y = 48, soit z = ln 48 ≈ 3,8712 :
0,113x + 2,191 = 3,8712 donc x = (3,8712 − 2,191) / 0,113 ≈ 14,9
Le seuil serait franchi pendant le 15e mois, en mai 2027. L'ajustement affine, lui, donne (48 − 7,65) ÷ 1,725 ≈ 23,4, soit février 2028 : neuf mois de plus. Se fier à la droite, c'est voir l'alerte arriver neuf mois plus tôt que prévu, sans avoir prévu d'agrandir le disque.
Comparer les deux ajustements (chapitre 8) : r ≈ 0,9933 pour y en x, r ≈ 0,9999 pour z en x. L'ajustement exponentiel rend mieux compte des données, ce que confirment les écarts en arc de la droite et les rapports constants.
Les autres changements de variable
L'énoncé donne le changement de variable ; à toi de savoir le traiter. Les plus courants :
| Forme du nuage | Changement de variable | Modèle obtenu |
|---|---|---|
| Croissance (ou décroissance) à pourcentage constant | z = ln y | y = k × qˣ (exponentiel) |
| Croissance de plus en plus lente, comme le logarithme | t = ln x | y = a ln x + b (logarithmique) |
| Décroissance en k ÷ x | t = 1 ÷ x | y = a ÷ x + b |
| Croissance en x² | t = x² | y = ax² + b |
| Les deux à la fois | z = ln y et t = ln x | y = k × xᵃ (puissance) |
Exemple de modèle logarithmique : le temps d'une recherche dichotomique dans une table triée de n éléments augmente comme le logarithme de n (recherche dichotomique). Doubler la taille de la table n'ajoute qu'une étape. On ajuste alors y en t = ln n, et non en n (exercice ci-dessous).
Zabbix fait la même chose
Les fonctions de prévision de Zabbix, forecast et timeleft, ajustent une fonction aux valeurs d'une période (affine par défaut) pour prévoir une valeur ou le temps restant avant un seuil (prévoir la saturation). On peut leur demander un ajustement exponentiel, logarithmique ou puissance ; la documentation de Zabbix précise que l'ajustement exponentiel ou puissance passe par le logarithme des valeurs, d'où une erreur si une valeur est nulle ou négative. C'est exactement le changement de variable z = ln y, et la raison pour laquelle on ne peut pas l'appliquer à des valeurs nulles. Choisir le bon modèle reste ton travail : un timeleft linéaire sur une croissance exponentielle annonce la saturation trop tard.
Exercices
Exercice 1 sur 3 Le trafic d'une API Réussi À revoir
Le nombre de requêtes mensuelles d'une API (en millions) a évolué ainsi :
| Mois xᵢ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Requêtes yᵢ (millions) | 1,2 | 1,5 | 1,9 | 2,4 | 3,0 | 3,8 |
- On pose z = ln y. Complète un tableau des valeurs de z arrondies à 10⁻⁴.
- Détermine, à la calculatrice, l'équation de la droite de régression de z en x (coefficients à 10⁻³ près) et le coefficient de corrélation.
- Déduis-en une expression de y de la forme y = k × qˣ. Quel est le taux de croissance mensuel ?
- Estime le nombre de requêtes au mois 9, puis le mois où l'on dépassera 10 millions.
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 1
- z : 0,1823 ; 0,4055 ; 0,6419 ; 0,8755 ; 1,0986 ; 1,3350.
- z = 0,231x − 0,051, avec r ≈ 0,99997 (l'ajustement affine de y en x ne donne que r ≈ 0,986).
- y = e^(0,231x − 0,051) = e^−0,051 × (e^0,231)ˣ ≈ 0,95 × 1,26ˣ. Le trafic augmente d'environ 26 % par mois.
- Mois 9 : y ≈ e^(0,231 × 9 − 0,051) = e^2,028 ≈ 7,6 millions. Pour y = 10 : 0,231x − 0,051 = ln 10 ≈ 2,3026, donc x ≈ 2,3536 ÷ 0,231 ≈ 10,2. Le cap des 10 millions serait franchi pendant le 11e mois, si la croissance se maintient.
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Exercice 2 sur 3 Une recherche dichotomique Réussi À revoir
On a mesuré le temps moyen d'une recherche dichotomique dans des tables triées de n éléments :
| Taille n | 1 000 | 2 000 | 4 000 | 8 000 | 16 000 | 32 000 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Temps y (µs) | 10,1 | 11,0 | 12,1 | 13,0 | 14,0 | 15,1 |
- Que remarques-tu sur y quand n double ?
- On pose t = ln n. Calcule t (à 10⁻⁴), puis l'équation de la droite de régression de y en t (a à 10⁻³, b à 10⁻² près).
- Estime le temps de recherche dans une table d'un million d'éléments.
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 2
- Chaque fois que n double, y augmente d'environ 1 µs : une croissance de plus en plus lente par rapport à n, typique d'un logarithme.
- t : 6,9078 ; 7,6009 ; 8,2940 ; 8,9872 ; 9,6803 ; 10,3735. Droite : y = 1,439t + 0,12, avec r ≈ 0,9996 (contre r ≈ 0,913 pour un ajustement de y en n).
- t = ln 1 000 000 ≈ 13,8155, donc y ≈ 1,439 × 13,8155 + 0,12 ≈ 20,0 µs. Une table mille fois plus grande que la première ne demande que deux fois plus de temps.
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Exercice 3 sur 3 Retour au modèle Réussi À revoir
Un ajustement de z = ln y en x a donné z = 0,095x + 3,4.
- Écris y sous la forme k × qˣ (k à l'unité, q à 10⁻² près).
- Quel est le taux d'évolution de y quand x augmente de 1 ?
- Même question si l'on avait obtenu z = −0,05x + 3,4.
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 3
- k = e^3,4 ≈ 30 et q = e^0,095 ≈ 1,10 : y ≈ 30 × 1,10ˣ.
- y est multiplié par 1,10 : une hausse de 10 % par unité de x.
- q = e^−0,05 ≈ 0,95 : y est multiplié par 0,95, soit une baisse d'environ 5 % par unité de x.
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