Coefficient de corrélation linéaire et causalité

Le coefficient de corrélation linéaire r mesure la force de la liaison affine entre deux variables : il est compris entre −1 et 1, vaut ±1 quand les points sont parfaitement alignés et se rapproche de 0 quand le nuage n'a pas de direction. Le programme l'utilise pour « comparer la qualité de deux ajustements ». Ce chapitre donne sa formule, la façon de l'interpréter, ses limites, et la distinction essentielle entre une corrélation et une relation de cause à effet.

Définition et propriétés

Diviser par les écarts types rend r sans unité : changer les secondes en millisecondes ou les pourcentages en proportions ne le modifie pas, contrairement à la covariance.

Pour les sessions et la charge processeur du chapitre 6 : cov(x, y) = 180,18, V(x) = 6 431 ÷ 10 − 22,3² = 145,81 et V(y) = 13 388 ÷ 10 − 33,4² = 223,24, donc σ_x ≈ 12,075 et σ_y ≈ 14,941.

r = 180,18 / (12,075 × 14,941) ≈ 180,18 / 180,42 ≈ 0,9987

Pour les sauvegardes du chapitre 7, on trouve r ≈ 0,9989, et pour les postes de travail r ≈ 0,849.

Interpréter r et r²

Il n'existe pas de seuil officiel. Dans les exercices, un énoncé qui demande si un ajustement affine « est justifié » attend en général un |r| très proche de 1 (au-delà de 0,9, souvent bien plus), et une phrase qui le relie à la forme du nuage.

Le carré r², appelé coefficient de détermination, est la part de la variance de y prise en compte par l'ajustement affine. Pour les sessions, r² ≈ 0,997 : la droite rend compte de 99,7 % de la variation de la charge processeur ; le reste vient d'autres facteurs ou du hasard des mesures. C'est le R² qu'affichent les tableurs à côté d'une courbe de tendance (chapitre 11).

r et a sont liés : a = r × σ_y ÷ σ_x. Une pente forte ne veut pas dire une corrélation forte : a mesure de combien y change quand x augmente de 1, r mesure à quel point les points sont proches de la droite.

Comparer deux ajustements

C'est l'usage que le programme met en avant : quand plusieurs modèles sont possibles, celui dont le coefficient de corrélation est le plus proche de ±1 rend le mieux compte des données. Pour le volume des journaux étudié au chapitre 9, l'ajustement affine de y en x donne r ≈ 0,9933, celui de z = ln y en x donne r ≈ 0,9999 : le second modèle est meilleur, alors que les deux r semblent « excellents ». Compare des r calculés sur les mêmes individus, et regarde aussi le nuage.

Les limites de r

r ne voit que les droites. Le quatrième nuage de la figure suit exactement une parabole, et pourtant r = 0. Un r proche de 0 dit « pas de tendance affine », pas « aucun lien ».

r est sensible aux valeurs extrêmes. Ajoute aux cinq sauvegardes du chapitre 7 une nuit où la sauvegarde de 60 Go a duré 80 minutes à cause d'une coupure réseau. Le coefficient chute de 0,999 à environ 0,55 et la droite devient y = 0,455x + 12,7 : un seul point a presque effacé la liaison et décalé toutes les prévisions de 8 minutes.

Un même r peut cacher des nuages très différents. En 1973, le statisticien Francis Anscombe a publié quatre séries de onze points qui ont la même moyenne de x (9), la même moyenne de y (7,50), le même coefficient de corrélation (0,816) et la même droite des moindres carrés (y = 0,5x + 3). Leurs nuages n'ont rien à voir : un nuage allongé, un arc de courbe, une droite parfaite avec un point isolé, une colonne de points avec un seul point très à l'écart. La leçon tient en une phrase : trace toujours le nuage avant de calculer r.

Peu de points, r fragile. Avec trois ou quatre points, un r élevé peut venir du hasard. Plus la série est longue, plus r est fiable.

Corrélation n'est pas causalité

Le programme insiste : on « distingue liaison entre deux variables statistiques et relation de cause à effet ». Un r proche de 1 dit que deux grandeurs varient ensemble, jamais pourquoi. Trois explications sont toujours possibles.

• Un facteur caché agit sur les deux. Sur un trimestre, le nombre d'alertes Wazuh par jour et le nombre de connexions VPN par jour sont très corrélés. Les connexions VPN ne déclenchent pas les alertes : les deux suivent l'activité de l'entreprise, forte les jours ouvrés, faible le week-end.
• La cause est dans l'autre sens. Les jours où le plus de techniciens sont d'astreinte sont ceux où il y a le plus de tickets. Ce ne sont pas les techniciens qui créent les tickets : on en prévoit plus les jours chargés (clôture comptable, rentrée).
• Une coïncidence, surtout sur peu de points ou quand on teste beaucoup de couples de variables : à force de chercher, on finit par trouver deux courbes qui se ressemblent.

Pour établir une cause, il faut une expérience contrôlée : faire varier x seul, toutes choses égales par ailleurs, et observer y. Un test de charge qui ouvre 10, 20 puis 40 sessions sur srv-test1, sans autre activité, permet d'affirmer que les sessions font monter la charge processeur ; les relevés d'une journée ordinaire ne le permettent pas, puisque d'autres tâches tournent en même temps.

Exercices