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Chapitre 1212 minIntermédiaire

Exercices corrigés de statistiques type EF2

Par Josselyn C., prof de BTS SIO. Mis à jour le .

À la fin de ce chapitre, tu sauras

  • dire sous quelle forme les statistiques tombent à l'EF2 ;
  • appliquer une méthode de rédaction en six points ;
  • traiter des sujets complets, de la série en classes à l'ajustement exponentiel.

4 exercices corrigés

Ce chapitre rassemble des sujets de statistiques construits comme les exercices de l'épreuve facultative EF2 « Mathématiques approfondies » du BTS SIO : une série en classes à résumer et à confronter à un engagement de service, un ajustement affine complet avec prévision, un ajustement exponentiel par changement de variable, et un QCM. Chaque sujet est corrigé en entier, avec la rédaction attendue. Commence par la méthode, puis traite chaque sujet au brouillon, calculatrice en main, avant d'ouvrir le corrigé.

Où les statistiques tombent à l'EF2

L'EF2 est une épreuve écrite de 2 heures, en forme ponctuelle pour tous les candidats. D'après le référentiel du BTS SIO, le sujet comporte « deux ou trois exercices couvrant une partie significative des modules d'analyse et des modules de probabilités et statistiques », pour un total de 20 points. Comme pour toute épreuve facultative, seuls les points au-dessus de 10 sont pris en compte pour le diplôme : elle ne peut que t'en rapporter.

La statistique descriptive peut donc occuper un exercice entier ou en ouvrir un : une série de mesures est résumée et ajustée, puis le modèle obtenu sert de point de départ à une question d'analyse (étudier la fonction exponentielle trouvée, voir le cours de fonctions) ou de probabilités (modéliser les mesures par une loi, voir le cours de probabilités). Il n'y a pas de formulaire officiel aux épreuves écrites de mathématiques des BTS depuis la session 2015 : les formules utiles peuvent être rappelées dans le sujet, mais tu dois connaître celles de ce cours. Les règles de l'épreuve obligatoire E3 sont détaillées dans le cours Épreuve E3.

La méthode en six points

  1. Lis tout l'exercice avant de commencer. Les questions s'enchaînent : la droite de la question 3 sert à la prévision de la question 5, le changement de variable de la question 2 au modèle de la question 4.
  2. Recopie les définitions imposées. Si l'énoncé rappelle comment calculer les quartiles ou à quelle précision arrondir, applique exactement cela.
  3. Annonce l'outil et la méthode : « à la calculatrice », « par la méthode des moindres carrés », « par interpolation linéaire ».
  4. Garde la précision pendant les calculs, arrondis seulement les résultats, comme demandé, et utilise ensuite les valeurs arrondies que tu as écrites.
  5. Vérifie : l'effectif n affiché par la calculatrice, le passage de la droite par G, l'ordre de grandeur d'une prévision (une sauvegarde de 150 Go ne dure pas 3 secondes).
  6. Conclus avec les mots de l'énoncé, l'unité, et la limite quand il y a une extrapolation : « si la tendance se maintient ».

Sujet 1 : la durée de résolution des tickets

Exercice 1 sur 4 Sujet 1 (série en classes, engagement de service) Réussi À revoir

En octobre, le service informatique a résolu 60 tickets de priorité normale. Leur durée de résolution, en heures ouvrées, se répartit ainsi :

Durée (h)[0 ; 2[[2 ; 4[[4 ; 8[[8 ; 24[
Nombre de tickets1422186
  1. Calcule les fréquences cumulées croissantes. Quelle part des tickets a été résolue en moins de 4 heures ?
  2. Calcule une valeur approchée de la durée moyenne de résolution, en utilisant les centres des classes. Arrondis à 10⁻².
  3. Détermine, par interpolation linéaire, une valeur approchée de la médiane. Arrondis à 10⁻².
  4. Compare la moyenne et la médiane. Quel indicateur choisir pour informer les utilisateurs ? Justifie.
  5. L'engagement de service prévoit que 90 % des tickets normaux soient résolus en moins de 8 heures. Est-il tenu ?
  6. Pour tracer l'histogramme, quelle hauteur donner au rectangle de la classe [8 ; 24[ si on représente l'effectif par heure ?
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 1
  1. Effectifs cumulés : 14, 36, 54, 60. Fréquences cumulées : 14 ÷ 60 ≈ 0,233 ; 36 ÷ 60 = 0,6 ; 54 ÷ 60 = 0,9 ; 1. En moins de 4 heures : 60 % des tickets.
  2. Centres : 1 ; 3 ; 6 ; 16. Σ nᵢcᵢ = 14 × 1 + 22 × 3 + 18 × 6 + 6 × 16 = 14 + 66 + 108 + 96 = 284. x̄ ≈ 284 ÷ 60 ≈ 4,73 h.
  3. N ÷ 2 = 30. L'effectif cumulé passe de 14 à 36 dans la classe [2 ; 4[ : c'est la classe médiane. Me ≈ 2 + 2 × (30 − 14) ÷ 22 = 2 + 32 ÷ 22 ≈ 3,45 h.
  4. La moyenne (4,73 h) est nettement supérieure à la médiane (3,45 h) : quelques tickets très longs, jusqu'à 24 heures, tirent la moyenne vers le haut. Pour informer les utilisateurs, la médiane est plus parlante : « la moitié des tickets normaux sont résolus en 3,45 h ou moins, soit environ 3 h 27 min » (0,45 h = 0,45 × 60 = 27 min ; attention, 3,45 h n'est pas 3 h 45).
  5. La fréquence cumulée à 8 heures vaut exactement 0,9 : 90 % des tickets ont été résolus en moins de 8 heures. L'engagement est tenu, mais à la limite : un ticket de plus au-delà de 8 heures l'aurait fait échouer. À surveiller le mois suivant.
  6. Amplitude : 24 − 8 = 16 heures. Hauteur : 6 ÷ 16 = 0,375 ticket par heure (contre 7 pour [0 ; 2[, 11 pour [2 ; 4[ et 4,5 pour [4 ; 8[).

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Sujet 2 : la mémoire d'un hyperviseur

Exercice 2 sur 4 Sujet 2 (ajustement affine, prévision) Réussi À revoir

Pour son laboratoire de test, le service informatique de Sorbier Logistique a recyclé un ancien serveur en hôte Proxmox VE, avec 48 Go de mémoire vive. L'administrateur a relevé la mémoire utilisée selon le nombre de machines virtuelles démarrées :

Machines virtuelles xᵢ23456789
Mémoire utilisée yᵢ (Go)9,813,116,919,723,426,630,533,2
  1. Représente le nuage de points et calcule les coordonnées du point moyen G.
  2. Donne, à la calculatrice, le coefficient de corrélation linéaire r (arrondi à 10⁻⁴). Un ajustement affine est-il justifié ?
  3. Donne une équation de la droite de régression de y en x par la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis à 10⁻²).
  4. Interprète les coefficients a et b dans le contexte.
  5. Estime la mémoire utilisée avec 12 machines virtuelles. Quelle précaution faut-il prendre ?
  6. L'administrateur veut garder 10 % de la mémoire libre. Combien de machines virtuelles peut-il démarrer au plus ?
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 2
  1. Les points sont presque alignés sur une droite montante. x̄ = 44 ÷ 8 = 5,5 et ȳ = 173,2 ÷ 8 = 21,65 : G (5,5 ; 21,65).
  2. À la calculatrice : r ≈ 0,9995. r est très proche de 1 : les points sont presque alignés, un ajustement affine est justifié.
  3. À la calculatrice : a ≈ 3,3762 et b ≈ 3,0810, d'où y = 3,38x + 3,08.
  4. a ≈ 3,38 : chaque machine virtuelle démarrée occupe en moyenne environ 3,4 Go de mémoire. b ≈ 3,08 : avec zéro machine virtuelle, l'hyperviseur lui-même utilise environ 3,1 Go.
  5. y ≈ 3,38 × 12 + 3,08 = 40,56 + 3,08 = 43,64 Go. C'est une extrapolation (les mesures vont de 2 à 9 machines) : elle suppose que les nouvelles machines ressemblent aux anciennes, et que rien d'autre ne consomme davantage de mémoire.
  6. 90 % de 48 Go = 43,2 Go. On résout 3,38x + 3,08 ≤ 43,2, soit x ≤ 40,12 ÷ 3,38 ≈ 11,87. x est un entier : 11 machines virtuelles au plus. Avec 12, la prévision (43,64 Go) dépasse le seuil.

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Sujet 3 : la saturation du stockage

Exercice 3 sur 4 Sujet 3 (ajustement exponentiel, changement de variable donné) Réussi À revoir

Chez Sorbier Logistique, les sauvegardes nocturnes des machines virtuelles sont rangées dans le datastore vms du serveur Proxmox Backup Server (192.168.10.245), sur un volume de 2 000 Go utiles. Une alerte se déclenche à 80 % d'occupation. L'espace occupé a été relevé à la fin de chaque trimestre :

Trimestre xᵢ123456
Espace occupé yᵢ (Go)410480560655770900

Partie A : un ajustement affine.

  1. Donne, à la calculatrice, la droite de régression de y en x (coefficients à 10⁻²) et le coefficient de corrélation (à 10⁻⁴).
  2. Selon ce modèle, pendant quel trimestre l'alerte se déclencherait-elle ?

Partie B : un ajustement exponentiel.

  1. Calcule les quotients yᵢ₊₁ ÷ yᵢ successifs (à 10⁻³). Que constates-tu ?
  2. On pose z = ln y. Donne les valeurs de z arrondies à 10⁻⁴, puis, à la calculatrice, la droite de régression de z en x (coefficients à 10⁻³) et le coefficient de corrélation.
  3. Déduis-en que y ≈ k × qˣ, avec k arrondi à l'unité et q à 10⁻².
  4. Selon ce modèle, pendant quel trimestre l'alerte se déclencherait-elle ?
  5. Quel modèle retiens-tu ? Quelle décision proposes-tu ?
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 3

Partie A.

  1. y = 97,57x + 287,67, avec r ≈ 0,9931.
  2. Seuil d'alerte : 80 % de 2 000 = 1 600 Go. 97,57x + 287,67 = 1 600 donne x = 1 312,33 ÷ 97,57 ≈ 13,45 : l'alerte se déclencherait pendant le 14e trimestre.

Partie B.

  1. 480 ÷ 410 ≈ 1,171 ; 560 ÷ 480 ≈ 1,167 ; 655 ÷ 560 ≈ 1,170 ; 770 ÷ 655 ≈ 1,176 ; 900 ÷ 770 ≈ 1,169. Les quotients sont presque constants, autour de 1,17 : l'espace occupé augmente d'environ 17 % par trimestre, une croissance exponentielle plutôt qu'affine.
  2. z : 6,0162 ; 6,1738 ; 6,3279 ; 6,4846 ; 6,6464 ; 6,8024. Droite : z = 0,157x + 5,858, avec r ≈ 0,99998.
  3. y = e^(0,157x + 5,858) = e^5,858 × (e^0,157)ˣ, avec e^5,858 ≈ 350 et e^0,157 ≈ 1,17 : y ≈ 350 × 1,17ˣ.
  4. y = 1 600 donne z = ln 1 600 ≈ 7,3778, donc 0,157x + 5,858 = 7,3778 et x ≈ 1,5198 ÷ 0,157 ≈ 9,68 : l'alerte se déclencherait pendant le 10e trimestre.
  5. Le coefficient de corrélation de l'ajustement de z en x (0,99998) est plus proche de 1 que celui de y en x (0,9931), et les quotients presque constants confirment une croissance à pourcentage constant : on retient le modèle exponentiel. L'alerte arriverait environ quatre trimestres plus tôt que ne le prévoit la droite, soit un an : il faut dès maintenant prévoir d'agrandir le volume du datastore (des disques de plus pour le serveur de sauvegarde) ou revoir la rétention des sauvegardes, réglée par la tâche de nettoyage de Proxmox Backup Server (sauvegardes de VM, dimensionner un stockage).

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Sujet 4 : QCM

Exercice 4 sur 4 Sujet 4 (QCM) Réussi À revoir

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Justifie ton choix.

  1. La médiane de la série 2, 4, 4, 5, 10 est :
    • A. 4
    • B. 5
    • C. 4,5
    • D. 25
  2. On ajoute 10 à toutes les valeurs d'une série. Son écart type :
    • A. augmente de 10
    • B. est multiplié par 10
    • C. ne change pas
    • D. augmente de √10
  3. Pour une série à deux variables, r = −0,97 signifie que :
    • A. il n'y a pas de liaison entre x et y
    • B. les points sont presque alignés sur une droite descendante
    • C. l'augmentation de x provoque la baisse de y
    • D. la droite de régression a un coefficient directeur de −0,97
  4. La droite de régression de y en x par la méthode des moindres carrés passe toujours par :
    • A. l'origine du repère
    • B. le premier point du nuage
    • C. le point moyen G (x̄ ; ȳ)
    • D. le point le plus haut du nuage
  5. Pour réaliser un ajustement exponentiel de y en x, on ajuste par les moindres carrés :
    • A. y en x
    • B. ln y en x
    • C. y en ln x
    • D. eʸ en x
Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 4
  1. A. Série rangée de 5 valeurs : la médiane est la 3e, 4. (5 est la moyenne.)
  2. C. Un décalage commun ne change pas la dispersion : tous les écarts à la moyenne restent les mêmes.
  3. B. r proche de −1 : forte liaison affine décroissante. Pas C (une corrélation ne prouve pas une cause), pas D (r n'est pas la pente : a = r × σ_y ÷ σ_x).
  4. C. b = ȳ − a x̄ traduit exactement le passage par G.
  5. B. Avec z = ln y, le modèle y = k × qˣ devient z = ln k + x ln q, une fonction affine de x.

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Chapitre terminé !

Fais les 4 exercices avant de passer à la suite : c'est en t'entraînant que tout se fixe.

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