Série statistique : effectifs, fréquences et graphiques

Une série statistique est la liste des valeurs d'un même caractère relevées sur les individus d'une population : les temps de réponse d'une application mesurés toute une journée, le nombre de tickets ouverts chaque jour, la taille des pièces jointes d'une messagerie. Ce chapitre pose le vocabulaire, montre comment ranger les données dans un tableau d'effectifs et de fréquences, comment les regrouper en classes, et quel graphique tracer selon le type de données.

Population, individu, caractère

Le service informatique de Sorbier Logistique supervise l'application de gestion des livraisons avec Zabbix : toutes les 5 minutes, un scénario web mesure le temps de réponse de la page de connexion (cours de supervision). En une journée, cela fait 24 × 12 = 288 mesures.

Un caractère est de l'un de ces types :

• qualitatif, quand ses valeurs ne sont pas des nombres : le système d'exploitation d'un poste, le service d'un salarié, la priorité d'un ticket. Certains sont ordonnés (basse, normale, haute, critique), d'autres non ;
• quantitatif discret, quand il prend des valeurs isolées, en général entières : le nombre de tickets ouverts dans la journée, le nombre d'écrans d'un poste ;
• quantitatif continu, quand il peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle : un temps de réponse, la taille d'un fichier, une température de baie.

Série brute et tableau des effectifs

Voici le nombre de tickets ouverts chaque jour dans GLPI pendant 20 jours ouvrés, dans l'ordre des jours. C'est une série brute :

3, 2, 4, 1, 3, 2, 0, 3, 5, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 6, 2, 4, 3, 1

Lue telle quelle, elle ne dit pas grand-chose. On compte combien de fois chaque valeur apparaît : c'est son effectif nᵢ. La fréquence de la valeur est la part qu'elle représente : fᵢ = nᵢ ÷ N, souvent exprimée en pourcentage.

Deux vérifications à faire à chaque fois : la somme des effectifs vaut N (ici 20) et la somme des fréquences vaut 1, soit 100 %. Si un arrondi l'en écarte (99,9 %), signale-le plutôt que de tricher sur une case.

Effectifs et fréquences cumulés

L'effectif cumulé croissant (ECC) d'une valeur est le nombre d'individus dont la valeur est inférieure ou égale à elle. La fréquence cumulée croissante (FCC) est sa part dans l'effectif total.

On lit directement des phrases utiles : « 75 % des jours, il y a eu au plus 3 tickets » ; « 10 % des jours (100 % − 90 %), il y en a eu au moins 5 ». Les cumuls servent aussi à trouver la médiane et les quartiles (chapitres 2 et 3).

Regrouper en classes

Pour un caractère continu, presque chaque mesure est différente : 212 ms, 198 ms, 231 ms… Un tableau valeur par valeur aurait 288 colonnes. On regroupe donc les valeurs en classes, des intervalles de la forme [a ; b[ : a est compris, b ne l'est pas. L'amplitude de la classe est b − a, son centre (a + b) ÷ 2.

Les 288 temps de réponse de la journée se répartissent ainsi :

Le choix des classes est une décision, pas un détail : le programme demande justement de réfléchir à « la pertinence de regroupements par classes ».

• Trop peu de classes effacent l'information : avec [0 ; 500[ et [500 ; 1 000[, tu ne vois plus que la plupart des pages répondent entre 100 et 200 ms.
• Trop de classes donnent un tableau illisible, avec beaucoup de classes presque vides.
• Des classes plus larges dans la queue de la distribution (ici au-delà de 300 ms) évitent une série de classes à un ou deux individus. C'est fréquent pour des durées ou des tailles de fichiers : beaucoup de petites valeurs, quelques très grandes.
• Des bornes rondes et un seuil métier aident à lire : si l'engagement de service fixe 300 ms, mets une borne à 300.

Regrouper fait perdre de l'information : dans une classe, on ne sait plus où sont les valeurs. Les calculs faits sur des classes (moyenne avec les centres, médiane par interpolation) sont donc des approximations.

Quel graphique pour quelles données

Dans un histogramme, c'est l'aire des rectangles qui représente l'effectif, pas la hauteur. Quand toutes les classes ont la même amplitude, cela revient au même. Quand elles diffèrent, la hauteur d'un rectangle est l'effectif divisé par l'amplitude : ici, on la rapporte à 100 ms. La classe [300 ; 500[ contient 36 mesures sur 200 ms, soit 18 pour 100 ms ; la classe [500 ; 1 000[ en contient 12 sur 500 ms, soit 2,4 pour 100 ms.

Un graphique peut aussi tromper par son axe : un axe vertical qui commence à 180 ms au lieu de 0 transforme un écart de 5 % en un écart du simple au double. Regarde toujours les graduations avant de conclure.

D'où viennent les données en informatique

Les séries de ce cours ressemblent à celles que tu exportes en stage :

Avant de calculer, vérifie l'unité de chaque colonne (secondes ou millisecondes ?), les cases vides et les valeurs impossibles : une seule mesure à 99 999 ms due à un dépassement de délai fausse une moyenne.

Exercices

Exercice 1 sur 3 Le bon type de caractère Réussi À revoir

Pour chaque caractère, dis s'il est qualitatif, quantitatif discret ou quantitatif continu.

1. Le navigateur utilisé pour ouvrir l'intranet.
2. Le nombre de redémarrages d'un serveur dans le mois.
3. La durée d'une sauvegarde.
4. La priorité d'un ticket (basse, normale, haute, critique).
5. Le numéro du VLAN d'un poste.
6. La taille d'un fichier journal, en Mo.

Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 1

1. Qualitatif (non ordonné).
2. Quantitatif discret : 0, 1, 2…
3. Quantitatif continu : une durée peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle.
4. Qualitatif ordonné : les modalités ont un ordre, mais ce ne sont pas des nombres.
5. Qualitatif : le numéro est une étiquette, additionner deux VLAN n'a pas de sens.
6. Quantitatif continu en pratique. Une taille en octets est un entier, mais le nombre de valeurs possibles est si grand qu'on la traite comme continue et qu'on la regroupe en classes.

Tu avais trouvé ?

Oui, j'avais bonPas encore

Exercice 2 sur 3 Tableau des incidents Réussi À revoir

Voici le nombre d'incidents de production relevés chaque semaine pendant 25 semaines :

2, 0, 1, 3, 2, 1, 4, 2, 0, 1, 2, 3, 1, 2, 5, 2, 1, 0, 3, 2, 1, 2, 4, 3, 2

1. Construis le tableau des effectifs, des fréquences et des effectifs cumulés croissants.
2. Quelle part des semaines a connu au plus 2 incidents ?
3. Quelle part des semaines a connu au moins 3 incidents ?
4. Quel graphique choisis-tu pour représenter cette série ?

Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 2

1. N = 25. On compte chaque valeur :

Incidents xᵢ	0	1	2	3	4	5	Total
Effectif nᵢ	3	6	9	4	2	1	25
Fréquence fᵢ	0,12	0,24	0,36	0,16	0,08	0,04	1
Effectif cumulé	3	9	18	22	24	25

2. L'effectif cumulé de 2 vaut 18 : 18 ÷ 25 = 72 % des semaines.
3. C'est le complément : 100 % − 72 % = 28 % (7 semaines : 4 + 2 + 1).
4. Le caractère est quantitatif discret : un diagramme en bâtons, avec un bâton de hauteur 3 en 0, 6 en 1, 9 en 2, et ainsi de suite.

Tu avais trouvé ?

Oui, j'avais bonPas encore

Exercice 3 sur 3 Un histogramme à classes inégales Réussi À revoir

Un administrateur a relevé la taille de 200 pièces jointes refusées par la messagerie :

Taille (Mo)	[0 ; 1[	[1 ; 2[	[2 ; 5[	[5 ; 10[
Effectif	120	45	30	5

1. Calcule l'amplitude de chaque classe et la hauteur des rectangles de l'histogramme, pour 1 Mo.
2. Un collègue a tracé des rectangles de hauteurs 120, 45, 30 et 5. Quelle impression fausse donne son graphique ?

Voir la réponseMasquer la réponse de l'exercice 3

1. Amplitudes : 1, 1, 3 et 5 Mo. Hauteurs (effectif ÷ amplitude) : 120, 45, 30 ÷ 3 = 10 et 5 ÷ 5 = 1 pièce jointe par Mo.
2. Le rectangle [2 ; 5[, trois fois plus large que [1 ; 2[, aurait une aire de 3 × 30 = 90 contre 45 : on croirait qu'il y a deux fois plus de pièces jointes entre 2 et 5 Mo qu'entre 1 et 2 Mo, alors qu'il y en a moins (30 contre 45). Le rectangle [5 ; 10[ serait, lui, gonflé d'un facteur 5.

Tu avais trouvé ?

Oui, j'avais bonPas encore