Quartiles, déciles et boîte à moustaches

Les quartiles d'une série sont les valeurs qui la découpent en quatre parts d'effectifs à peu près égaux : environ un quart des valeurs sous le premier quartile Q1, la moitié sous la médiane, trois quarts sous le troisième quartile Q3. L'écart entre Q1 et Q3, l'écart interquartile, mesure la dispersion de la moitié centrale des valeurs, et la boîte à moustaches résume tout cela en un dessin. Ce chapitre donne la définition du cours, la méthode de calcul, les déciles et les centiles, et explique pourquoi les outils ne trouvent pas toujours les mêmes quartiles.

Définition des quartiles

En pratique, avec une série brute de N valeurs rangées :

1. calcule N ÷ 4 ; si ce n'est pas un entier, arrondis-le à l'entier supérieur : c'est le rang de Q1 ;
2. calcule 3N ÷ 4, arrondis à l'entier supérieur s'il le faut : c'est le rang de Q3.

Reprends les 17 durées d'intervention de la base parc, en minutes :

10, 15, 15, 20, 30, 35, 40, 45, 55, 60, 60, 90, 90, 120, 150, 180, 240

• N ÷ 4 = 4,25 : on prend le rang 5, donc Q1 = 30 min.
• 3N ÷ 4 = 12,75 : on prend le rang 13, donc Q3 = 90 min.

On lit : « au moins un quart des interventions ont duré 30 minutes ou moins ; au moins trois quarts ont duré 90 minutes ou moins ». Avec la médiane de 55 min (chapitre 2), on a une image de la série en trois nombres.

Avec un tableau d'effectifs, Q1 est la première valeur dont l'effectif cumulé atteint N ÷ 4. Pour les 20 jours de tickets, N ÷ 4 = 5 : l'effectif cumulé vaut 4 pour 1 ticket et 9 pour 2 tickets, donc Q1 = 2. 3N ÷ 4 = 15, atteint exactement pour 3 tickets : Q3 = 3.

Avec des classes, on interpole comme pour la médiane, à 25 % et 75 % de l'effectif, ou on lit le polygone des fréquences cumulées (chapitre 2). Pour les 288 temps de réponse, N ÷ 4 = 72 et 3N ÷ 4 = 216 :

Q1 ≈ 100 + 100 × (72 − 36) / 132 ≈ 127,3 ms      (classe [100 ; 200[)
Q3 ≈ 200 + 100 × (216 − 168) / 72 ≈ 266,7 ms     (classe [200 ; 300[)

Déciles et centiles

Le même principe découpe la série en dix ou en cent :

• le premier décile D1 est la plus petite valeur telle qu'au moins 10 % des valeurs lui soient inférieures ou égales (rang : N ÷ 10, arrondi à l'entier supérieur) ;
• le neuvième décile D9, avec au moins 90 % (rang : 9N ÷ 10) ;
• le 95e centile, avec au moins 95 % (rang : 0,95N).

Pour les 17 interventions, 17 ÷ 10 = 1,7 donne le rang 2, soit D1 = 15 min, et 9 × 17 ÷ 10 = 15,3 donne le rang 16, soit D9 = 180 min : au moins 90 % des interventions ont duré trois heures ou moins.

En exploitation, les centiles sont partout. Un engagement de service ne s'écrit pas « temps de réponse moyen inférieur à 300 ms », trop facile à tenir avec quelques pages très lentes, mais « 95 % des requêtes en moins de 300 ms » : c'est une condition sur le 95e centile. La métrologie réseau facture aussi les liens au 95e centile du débit (moyenne, pic et 95e centile). Les outils l'écrivent souvent p95 (percentile).

L'écart interquartile

L'écart interquartile est Q3 − Q1. Environ la moitié des valeurs, celles du centre, se trouvent dans l'intervalle [Q1 ; Q3].

• Interventions : 90 − 30 = 60 min.
• Tickets par jour : 3 − 2 = 1 ticket.
• Temps de réponse en classes : 266,7 − 127,3 ≈ 139 ms.

Comme la médiane, il ne dépend pas des valeurs extrêmes : si l'intervention de 240 minutes en avait duré 600, Q1, Q3 et l'écart interquartile n'auraient pas bougé. Le couple (médiane ; écart interquartile) est donc le bon résumé d'une série qui contient des valeurs extrêmes.

La boîte à moustaches

La boîte à moustaches (ou diagramme en boîte) résume une série en cinq nombres : minimum, Q1, médiane, Q3, maximum. Sur un axe gradué :

1. trace un rectangle (la boîte) de Q1 à Q3 ;
2. marque la médiane par un trait dans la boîte ;
3. relie la boîte au minimum et au maximum par deux segments (les moustaches).

Pour les interventions : moustache de 10 à 30, boîte de 30 à 90 avec un trait à 55, moustache de 90 à 240. La boîte est décalée vers la gauche et la moustache de droite est très longue : la série a une queue de grandes valeurs, ce que disait déjà l'écart entre la moyenne (73,8) et la médiane (55).

La boîte à moustaches sert surtout à comparer des séries sur un même axe. Voici les temps de réponse de la page de connexion mesurés au même moment sur le serveur actuel, srv-gestion, et sur une machine de recette, srv-test1 (15 mesures chacun, analysées au chapitre 5) :

On lit tout de suite que srv-test1 est plus rapide la plupart du temps (sa boîte entière est à gauche de celle de srv-gestion) mais qu'il a de très mauvais moments. La croix de la moyenne, ajoutée ici, montre l'effet de ces deux valeurs : elle est sortie de la boîte.

Repérer une valeur atypique

Une valeur très éloignée des autres peut être une erreur de saisie, une panne, une attaque ou un cas réel mais exceptionnel. Une règle courante, due au statisticien John Tukey, la signale si elle sort de l'intervalle :

[ Q1 − 1,5 × (Q3 − Q1) ; Q3 + 1,5 × (Q3 − Q1) ]

Pour les interventions : 30 − 1,5 × 60 = −60 et 90 + 1,5 × 60 = 180. La durée de 240 min dépasse 180 : elle est atypique. C'est l'intervention qui a isolé du réseau le poste touché par le rançongiciel, suivie d'une analyse antivirus. 180 min, égale à la borne, ne l'est pas.

Cette règle ne figure pas au programme : c'est un outil de tri. Une valeur signalée se vérifie, elle ne se supprime pas d'office. Ici, la supprimer ferait disparaître l'incident le plus important du trimestre. Beaucoup de logiciels de graphiques arrêtent les moustaches à ces bornes et dessinent les valeurs atypiques comme des points isolés : regarde la légende avant de lire une boîte produite par un outil.

Pourquoi les outils ne trouvent pas les mêmes quartiles

Il existe plusieurs définitions des quartiles, et chaque outil a la sienne. Pour les 17 interventions :

La méthode des calculatrices prend la moitié basse de la série (ici les 8 valeurs sous la médiane, de 10 à 45) et calcule sa médiane : (20 + 30) ÷ 2 = 25 ; de même pour la moitié haute, (90 + 120) ÷ 2 = 105. Excel interpole entre deux valeurs ; il coïncide ici avec le cours parce que la série a 17 valeurs, pas en général. Avec 8 valeurs (12, 15, 17, 20, 22, 30, 31, 40), le cours donne Q1 = 15, la calculatrice 16 et QUARTILE.INCLURE 16,5.

Sur de grandes séries, les écarts deviennent négligeables. Sur une petite série d'exercice, ils se voient. Si l'énoncé rappelle une définition, applique-la ; sinon, utilise celle du cours et écris la méthode suivie. Le chapitre 10 explique comment régler les Casio pour obtenir directement les quartiles du cours.

Exercices