Statistiques à deux variables : nuage de points et point moyen

Une série statistique à deux variables relève deux caractères quantitatifs, x et y, sur les mêmes individus : pour chaque individu i, on obtient un couple (xᵢ ; yᵢ). On la représente par un nuage de points et on la résume d'abord par son point moyen G (x̄ ; ȳ) et par la covariance, qui dit si les deux variables varient dans le même sens. Ce chapitre pose ces outils, qui servent ensuite à trouver une droite d'ajustement.

Une série à deux variables

Sur srv-gestion, Zabbix relève à dix moments de la journée le nombre de sessions ouvertes sur l'application de gestion et la charge du processeur (moyenne sur 5 minutes, en %) :

Chaque colonne est un individu (un instant de mesure) : les deux valeurs d'une colonne vont ensemble. Trier une ligne sans l'autre détruirait la série.

La question de l'équipe : combien de sessions le serveur peut-il supporter avant d'atteindre 80 % de charge ? Pour y répondre, il faut un modèle qui relie y à x. Le premier pas est de dessiner.

Le nuage de points

Le nuage de points est l'ensemble des points Mᵢ (xᵢ ; yᵢ) placés dans un repère, x en abscisse, y en ordonnée. Ici, les points s'alignent presque sur une droite montante : la charge augmente régulièrement avec le nombre de sessions.

Lire la forme du nuage, c'est la première chose que demande un sujet.

Le point moyen

Le point moyen du nuage est le point G (x̄ ; ȳ), dont les coordonnées sont les moyennes des deux séries.

x̄ = (4 + 8 + 12 + 15 + 20 + 24 + 28 + 33 + 37 + 42) / 10 = 223 / 10 = 22,3
ȳ = (11 + 15 + 22 + 24 + 31 + 34 + 41 + 46 + 52 + 58) / 10 = 334 / 10 = 33,4

G (22,3 ; 33,4) : en moyenne, 22,3 sessions et 33,4 % de charge. C'est le « centre de gravité » du nuage, et nous verrons que la droite des moindres carrés passe toujours par lui.

La covariance

Pour savoir si x et y varient dans le même sens, on regarde, pour chaque point, le produit (xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ). Il est positif quand le point est au-dessus et à droite de G, ou au-dessous et à gauche : les deux variables sont du même côté de leur moyenne. Il est négatif dans les deux autres zones.

Pour les sessions et la charge :

Σ xᵢyᵢ = 4×11 + 8×15 + 12×22 + 15×24 + 20×31 + 24×34 + 28×41 + 33×46 + 37×52 + 42×58
       = 44 + 120 + 264 + 360 + 620 + 816 + 1 148 + 1 518 + 1 924 + 2 436 = 9 250
cov(x, y) = 9 250 / 10 − 22,3 × 33,4 = 925 − 744,82 = 180,18

La covariance est positive : la charge augmente quand le nombre de sessions augmente. Une covariance négative signale une variation en sens contraire ; une covariance proche de 0, l'absence de tendance affine.

Sa valeur, 180,18, s'exprime en « sessions × % » et dépend des unités : en charge exprimée entre 0 et 1 au lieu de pourcentages, elle serait cent fois plus petite pour le même nuage. Elle ne mesure donc pas la force de la liaison : c'est le rôle du coefficient de corrélation, qui la divise par les écarts types (chapitre 8). Note aussi que cov(x, x) = V(x) : la variance est la covariance d'une variable avec elle-même.

Ajuster à la règle

Avant tout calcul, on peut tracer à la main une droite qui passe par G et suit la direction du nuage, avec autant de points au-dessus qu'au-dessous. C'est un ajustement graphique : rapide, utile pour une estimation, mais chacun tracera une droite un peu différente. Pour obtenir une droite unique et justifiable, il faut un critère : c'est la méthode des moindres carrés du chapitre suivant.

Le temps en abscisse : les séries chronologiques

Quand x est le temps (le jour, le mois, le trimestre), la série à deux variables s'appelle une série chronologique : c'est ce que trace Grafana pour chaque métrique. Pour calculer, on remplace les dates par leur rang : x = 1 pour le premier mois, x = 2 pour le suivant, et ainsi de suite. Ajuster une droite ou une courbe à une série chronologique, c'est dégager une tendance pour prévoir : quand le disque sera plein, combien de tickets attendre à la rentrée. Les fonctions de prévision de Zabbix ne font pas autre chose (chapitre 9).

Deux précautions propres au temps :

• Les cycles. Beaucoup de mesures informatiques suivent un cycle : la journée (pic à 9 h, creux la nuit), la semaine (lundi chargé, week-end vide), le mois (clôture comptable). Ajuster une droite sur des valeurs horaires ou quotidiennes mélange le cycle et la tendance. On travaille plutôt sur des valeurs agrégées sur un cycle entier : un total ou une moyenne par semaine, un maximum par jour.
• Les ruptures. Une migration, une purge des journaux ou l'arrivée d'une nouvelle agence changent le comportement de la série. Une tendance calculée avant la rupture ne vaut plus après : ajuste sur la période qui suit le dernier changement, et note-le.

Une série chronologique se prête aussi à une lecture que les autres n'ont pas : regarder si l'accroissement d'une période à l'autre est à peu près constant (tendance affine) ou si c'est le rapport qui l'est (tendance exponentielle). Ce test simple guide le choix du modèle au chapitre 9.

Exercices